Question

如图，已知点B、C、E在同一条直线上且△ABC与△DEC都是等边三角形，下列结论中，正确的是

 

．
（1）BD=AE；（2）∠BPA=60°；（3）MN∥BE；（4）PN=PA．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）正确；证明△BCD≌△ACE，即可得出BD=AE；
（2）正确；由△BCD≌△ACE，得出∠BDC=∠AEC，由外角关系证出∠APB=60°；
（3）正确；证明△MCD≌△NCE，得出MC=NC，证出△MNC是等边三角形，得出∠NMC=∠ACB，证出MN∥BE；
（4）不正确；由AB∥CD，得出△ABP∽△DNP，

AB

DN

=

PA

PN

，若PA=PN，则AB=DN，显然不成立．

解答：解：（1）正确；
∵△ABC和△DEC是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，

BC=AC amp;  ∠BCD=∠ACE amp;  CD=CE amp;

 
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，∠BDC=∠AEC；
（2）正确；
∵∠APB=∠PBC+∠AEC，∠DCE=∠PBC+∠BDC=60°，
∴∠APB=60°；
（3）正确；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠MCN=60°，
∴∠MCN=∠DCE=60°，
在△MCD和△NCE中，

∠MCN=∠DCE amp;  CD=CE amp;  ∠BDC=∠AEC amp;

∴△MCD≌△NCE（ASA），
∴MC=NC，
∴△MNC是等边三角形，
∴∠NMC=60°，
∴∠NMC=∠ACB，
∴MN∥BE；
（4）不正确；
∵∠ABC=∠DCE，
∴AB∥CD，
∴△ABP∽△DNP，
∴

AB

DN

=

PA

PN

，
若PA=PN，则AB=DN，
显然不成立；∴PN=PA不成立．
故答案是：（1）（2）（3）．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．