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【题目】如图,抛物线 的图象与x轴交于A(﹣1.0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),顶点为D.

(1)求此抛物线的解析式.
(2)求此抛物线顶点D的坐标和对称轴.
(3)探究对称轴上是否存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的P点的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:∵抛物线 的图象与x轴交于A(﹣1.0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),

解得:
∴抛物线的解析式是
(2)解:∵ =
∴此抛物线顶点D的坐标是(1,﹣4),对称轴是直线x=1
(3)解:存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形,设点P的坐标为(1,y),分三种情况讨论:
①当PA=PD时 =
解得,y=
即点P的坐标为(1, );
②当DA=DP时, =
解得,y=
即点P的坐标为(1, )或(1, );
③当AD=AP时, =
解得,y=±4,
即点P的坐标是(1,4)或(1,﹣4),当点P为(1,﹣4)时与点D重合,故不符合题意.
由上可得,以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时,点P的坐标为(1, )或(1, )或(1, )或(1,4).
【解析】(1)根据题意得一个三元一次方程组,解之即可得抛物线解析式.
(2)根据(1)中得出的解析式,配成顶点式,从而得出顶点式和对称轴.
(3)存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形,设点P的坐标为(1,y),分三种情况讨论:①当PA=PD时,②当DA=DP时,③当AD=AP时,根据两点间距离公式计算即可得出P点坐标.

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