Question

11．如图，在一笔直的海岸线上有A，B，C3个观测站，B，C都在A的正西方向，AC=100（$\sqrt{3}+1$）km，从C测得船D在北偏东45°的方向，从B测得船D在北偏东15°的方向，从A测得船D在北偏西30°的方向．
（1）求此时观测点A与船D的距离AD；
（2）求观测点A与观测点B的距离AB．（精确到0.1km）
（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41；$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 （1）设AD为xkm，根据正、余弦的定义用x表示出AH、DH，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）作BG⊥AD于G，设AB为ykm，根据三角函数的定义用y表示出AG、DG，解方程即可．

解答 解：（1）设AD为xkm，
由题意得，∠DAH=60°，
则∠ADH=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$x，DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵∠DCH=45°，
∴CH=DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=100（$\sqrt{3}+1$），
解得，x=200，即AD=200km；
（2）作BG⊥AD于G，
设AB为ykm，
则AG=$\frac{1}{2}$ykm，BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ykm，
∵∠DBA=75°，∠DAB=60°，
∴∠BDA=45°，
∴DG=BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$ykm，
∴$\frac{1}{2}$y+$\frac{\sqrt{3}}{2}$y=200，
解得，y=200（$\sqrt{3}$-1）≈146.0km，
答：观测点A与观测点B的距离AB约为146.0km．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．