Question

6．如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x-2）²+k经过点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值；
（2）证明：抛物线的对称轴与以AB为直径的圆一定相交，并求出交点Q的坐标；
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．

Answer 1

分析 （1）根据之变量与函数值得对应关系，可得A、B点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据梯形的中位线，可得DG的长，根据DG与AB的关系，可得答案，根据勾股定理，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据正方形的对角线互相垂直，相等且平分，可得M、N的坐标，根据勾股定理，可得AN的长．

解答 （1）解：∵直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，3）．
又∵抛物线抛物线y=a（x-2）²+k经过点A（1，0），B（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+k=0}\\{4a+k=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
故a，k的值分别为1，-1；
（2）证明：如图，
取AB中点D，作DG⊥对称轴于G，对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．
则DG=$\frac{1}{2}$（BE+AF）=$\frac{3}{2}$＜$\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{1}{2}$AB
∴抛物线的对称轴与以AB为直径的圆一定相交．
设Q点的坐标为（2，m），
∵AB为直径，∴∠AQB=90°，
∴AQ²+BQ²=AB²．
在Rt△AQF中，AQ²=AF²+QF²=1+m²，
在Rt△BQE中，BQ²=BE²+EQ²=4+（3-m）²，
∴1+m²+4+（3-m）²=10，
∴m₁=1，m₂=2，
∴Q点的坐标为（2，2）或（2，1）；
（3）如图2，
当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．
又∵对称轴x=2是AC的中垂线，
∴M点与顶点P（2，-1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）．
此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，
∴四边形AMCN为正方形．
在Rt△AFN中，AN=$\sqrt{A{F}^{2}+N{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$，即正方形的边长为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用梯形的中位线得出DG的长是解题关键；利用正方形的性质得出M、N的坐标是解题关键．