Question

已知：关于x的一元二次方程x²-（k+1）x+2k-3=0．
（1）求证：对任意实数k，方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是3，求k的值及方程的另一个根．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可．△=[-（k+1）]²-4（2k-3）=k²-6k+13=（k-3）²+4，因为（k-3）²≥0，可以得到△＞0；
（2）将x=3代入方程x²-（k+1）x+2k-3=0，求出k的值，进而得出方程的解．

解答：（1）证明：∵△=[-（k+1）]²-4（2k-3）=k²-6k+13=（k-3）²+4，
而（k-3）²≥0，
∴△＞0．
∴对任意实数k，方程有两个不相等的实数根；

（2）解：∵方程的一个根是3，
∴3²-3（k+1）+2k-3=0，
解得：k=3，
∴原方程为：x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3．
即k的值为3，方程的另一个根是1．

点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
同时考查了一元二次方程的解的定义．