Question

2．如图，A（0，4），B（3，0），C（4，2），且反比例函数图象经过点C．
（1）反比例函数解析式为y=$\frac{8}{x}$，直线AB解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4；
（2）在直角坐标系平面内，确定点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标；
（3）在反比例函数的第一象限图象上，是否存在点Q，使△ABQ的面积最小？若存在，求出点Q的坐标及最小面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式；
（2）分成四边形ACBD是平行四边形，四边形ADCB是平行四边形和四边形ACDB是平行四边形三种情况，根据平行四边形对角线互相平分即可求解；
（3）△ABQ的面积最小时，Q是与AB平行且与反比例函数在第一象限部分只有一个公共点时，直线与反比例函数的公共点，利用根与系数的关系即可求得直线解析式以及Q的坐标．作QH⊥x轴于点H，根据S_△ABQ=S_△BQH+S_梯形AOHQ-S_△AOB求解．

解答 解：（1）设反比例函数的解析式是y=$\frac{k}{x}$，
根据题意得：k=8．
则反比例函数的解析式是y=$\frac{8}{x}$；
设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{k=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
则直线AB的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+4．
故答案是：y=$\frac{8}{x}$，y=-$\frac{4}{3}$x+4；
（2）四边形是平行四边形ACBD时，AB的中点是（$\frac{3}{2}$，2）．
当设D的坐标是（m，n）．
则$\frac{4+m}{2}$=$\frac{3}{2}$，且$\frac{2+n}{2}$=2，
解得：m=-1，n=2，
则D的坐标是（-1，2）；
同理四边形ADCB是平行四边形时，AC的中点是（2，3）．
则D的坐标是（4，6）；
同理，当四边形ACDB是平行四边形时，D的坐标是（7，-2）；
（3）设与AB平行且与反比例函数只有一个公共点的直线是y=-$\frac{4}{3}$x+c．
则-$\frac{4}{3}$x+c=$\frac{8}{x}$，即4x²-3cx+24=0，
△=（-3c）²-4×4×24=0，
解得：c=$\frac{8\sqrt{6}}{3}$或-$\frac{8\sqrt{6}}{3}$（舍去）．
则直线QD的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．
令y=0，解得：x=2$\sqrt{6}$，即D的坐标是（2$\sqrt{6}$，0），
则BD=2$\sqrt{6}$-3．
则S_△ABQ=S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•OA=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{6}$-3）•4=4$\sqrt{6}$-6．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象交点的求法，以及平行四边形的判定与性质，正确利用判别式求得Q的坐标是关键．