Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A（3，0），B（0，1）

（1）将△ABC沿x轴的正方向平移t个单位，B、C两点的对应点B′、C′正好落在反比例函数y=的图象上．请直接写出C点的坐标和t，k的值；

（2）有一个Rt△DEF，∠D=90°，∠E=60°，DE=2，将它放在直角坐标系中，使斜边EF在x轴上，直角顶点D在（1）中的反比例函数图象上，求点F的坐标；

（3）在（1）的条件下，问是否存在x轴上的点M和反比例函数y=图象上的点N，使得以B′、C′、M、N为顶点的四边形构成平行四边形?如果存在，直接写出所有满足条件的点M和点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（4，3），t=6，k=6；（2）满足条件的点F的坐标为（3，0）或（+3，0）；（3）存在，点N（3，2），M（7，0）时，四边形MNC′B′是平行四边形，当N′（3，2），M（7，0）时，四边形M′N′B′C′是平行四边形

【解析】

（1）过C点作CH⊥x轴，构造△CAH≌△ABO，从而确定C点坐标，根据坐标平移规律沿x轴的正方向平移t个单位可得B′（t、1）、C′（-4+t，3），根据反比例函数性质可求出t，然后可求出k；
（2）分情况画出斜边在x轴，直角顶点D在反比例图象上，先求出直角三角形斜边的高，即D点的y值，即可解决问题．
（3）分两种情形：①线段B′C′为平行四边形的边时．②线段B′C′是对角线时，分别求解即可．

（1）如图1中，过C点作CH⊥x轴，垂足为H，

∵∠BAC=∠AOB=∠CHA=90°，

∴∠CAH+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠CAH=∠ABO，

∵AC=AB，

∴△CHA≌△AOB（AAS），

∴AH=OB=1，OA=CH=3，

∴C（4，3），B（0，1），

由题意（4+t，3），（t，1），

∵,都在y=上，

∴（4+t）×3=t×1，

∴t=6，

∴（6，1），

∴k=6．

（2）如图2中，作DH⊥x轴于H．

在Rt△DEF中，∵∠EDF=90°，∠DEF=60°，DE=2，

∴EF=4，DF=，

∵DFDE=EFDH，

∴DH=，

∴FH=3，EH=1，D（，），

∴OF=3，

∴F（3，0），

当点在点右侧时，（+3，0）．

综上所述，满足条件的点F的坐标为（3，0）或（+3，0）．

（3）由（1）可知：（6，1），（2，3）．

当点N（3，2），M（7，0）时，四边形是平行四边形，

当（3，2），M（7，0）时，四边形是平行四边形．