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【题目】如图,点APBC是⊙O上的四个点,∠DAP=∠PBA

1)求证:AD是⊙O的切线;

2)若∠APC=∠BPC60°,试探究线段PAPBPC之间的数量关系,并证明你的结论;

3)在第(2)问的条件下,若AD2PD1,求线段AC的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)PA+PBPF+FCPC;(31+

【解析】

1)欲证明AD是⊙O的切线,只需推知ADAE即可;

2)首先在线段PC上截取PF=PB,连接BF,进而得出BPA≌△BFCAAS),即可得出PA+PB=PF+FC=PC

3)利用ADP∽△BDA,得出,求出BP的长,进而得出ADP∽△CAP,则,则AP2=CPPD求出AP的长,即可得出答案.

1)证明:先作⊙O的直径AE,连接PE

AE是直径,

∴∠APE90°

∴∠E+PAE90°

又∵∠DAP=∠PBA,∠E=∠PBA

∴∠DAPE

∴∠DAP+PAE90°,即ADAE

AD是⊙O的切线;

2PA+PBPC

证明:在线段PC上截取PFPB,连接BF

PFPB,∠BPC60°

∴△PBF是等边三角形,

PBBF,∠BFP60°

∴∠BFC180°﹣∠PFB120°

∵∠BPA=∠APC+BPC120°

∴∠BPA=∠BFC

BPABFC中,

∴△BPA≌△BFCAAS),

PAFCABCB

PA+PBPF+FCPC

3)∵△ADP∽△BDA

AD2PD1

BD4AB2AP

BPBDDP3

∵∠APD180°﹣∠BPA60°

∴∠APD=∠APC

∵∠PAD=∠E,∠PCA=∠E

∴∠PAD=∠PCA

∴△ADP∽△CAP

AP2CPPD

AP2=(3+AP1

解得:APAP(舍去),

(2)ABC是等边三角形,

AC=BCAB2AP1+

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