Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°，点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动．已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（0＜x＜6）．

（1）点G在四边形ABCD的边上时，x＝　 　；点F与点C重合时，x＝　 　；

（2）求出使△DFC成为等腰三角形的x的值；

（3）求△EFG与四边形ABCD重叠部分的面积y与x之间的函数关系式，并直接写出y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）2；3；（2）x的值为3﹣或3+或2；

（3）； y的最大值为．

【解析】

（1）如图1中，作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形，当等边三角形△EGF的高=时，点G在AD上，此时x＝2，当点F与C重合时，BE＝BC＝3即可；

（2）分三种情况：①当CF＝CD且F在C左侧时，②当CF＝CD且F在C右侧时，③当FC＝DF时，分别构建方程即可解决问题；

（3）分图1，图2，图3三种情况解决问题：①当0＜x≤2时，如图1中，△EFG在四边形ABCD内部，重叠部分就是△EFG；②当2＜x＜3时，如图2中，点E、F在线段BC上，△EFG与四边形ABCD重叠部分为四边形EFNM；③当3≤x＜6时，如图3中，点E在线段BC上，点F在射线BC上，重叠部分是△ECP．

解：（1）如图1中，作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形，

∵AD＝BH＝3，BC＝6，

∴CH＝BC﹣BH＝3，

在Rt△DHC中，CH＝3，∠DCH＝30°，

∴DH＝CHtan30°＝，CD=2

当等边三角形△EGF的高＝时，点G在AD上，则EF=2，由2x-x=2，得x＝2，

当点F与C重合时，BE+EF=BC=6,所

以BE=EF,则BE＝BC＝3，此时x＝3，

所以点G在四边形ABCD的边上时，x＝2，点F与点C重合时，x＝3，

故答案为2；3．

（2）注意到0＜x＜6，故△DFC为等腰三角形只有三种情形：

①当CF＝CD且F在C左侧时，6﹣2x＝2，得x＝3﹣；

②当CF＝CD且F在C右侧时，2x﹣6＝2，得x＝3+；

③当FC＝DF时，在Rt△FHD中，DF=，∴6﹣2x＝2，得x＝2；

综上所述，x的值为3﹣或3+或2；

（3）①当0＜x≤2时，如图1中，△EFG在四边形ABCD内部，所以y＝x2，y的最大值为，

②当2＜x＜3时，如图2中，点E、F在线段BC上，△EFG与四边形ABCD重叠部分为四边形EFNM，

∵∠FNC＝∠FCN＝30°，GF=EF= x，

∴FN＝FC＝6﹣2x，

∴GN＝3x﹣6，

∵∠G＝60°，

∴△GNM是直角三角形，

∴y＝S△EFG﹣S△GMN＝x2﹣（3x﹣6）2＝﹣x2+x﹣，y的最大值为；

③当3≤x＜6时，如图3中，点E在线段BC上，点F在射线BC上，重叠部分是△ECP，且∠ECP+∠CEP=90°，∠EPC=90°，所以△ECP为直角三角形，EC=6-x，则

y＝（6﹣x）2＝x2﹣x+，y的最大值为，

综上所述，y的最大值为，

故答案为：，y的最大值为．