Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点．是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，点；（3）存在，，．

【解析】

（1）把点A、B的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；

（2）连接，过点作轴于点，轴于点，设点的坐标为，得出，从而推出，即可推出当时，的面积最大，从而求出点的坐标.

（3）设点E的横坐标为c，表示出BE、QE，然后根据相似三角形对应边成比例，分OA和BE，OA和QE是对应边两种情况列出比例式求解即可．

（1）由抛物线过点，，

则，解得．

二次函数的解析式为．

（2）存在．如图，连接，过点作轴于点，轴于点．

设点的坐标为，则．

，，．

当时，，

．

．

，

当时，有最大值．

此时．

存在点，使的面积最大．

（3）存在点，坐标为，．

理由如下：设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为BE=1-c，

①OA和BE是对应边时，∵△BEQ∽△AOC，

∴，

即，

整理得，c2+c-2=0，

解得c1=-2，c2=1（舍去），

此时，,

点Q（-2，2）；

②OA和QE是对应边时，∵△QEB∽△AOC，

∴，

即，

整理得，4c2-c-3=0，

解得，c2=1（舍去），

此时，,

点；

综上所述，存在点，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．