Question

2．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6．若点E在BC上运动（E与B、C不重合），点F在CA上运动，且EF平分△ABC的周长，设CE=x，△CEF的面积为y．
（1）x=3时，求y的值；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）以E为圆心，EC为半径作一个圆．试问：当x为何值时，此圆与AB相切？

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC于D，如图1，根据等腰三角形的性质得BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，再利用勾股定理可计算出AD=4，由于CE+CF=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）=8，所以当x=3，E点与D点重合，F点与A重合，然后根据三角形面积公式求y；
（2）作FH⊥BC于H，如图1，CE=x，则CF=8-x，利用0＜x＜6且0＜8-x≤5可得3≤x＜6，再证明△CFH∽△CAD，利用相似比可得FH=$\frac{4}{5}$（8-x），则根据三角形面积公式得y=$\frac{1}{2}$•CE•FH=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{16}{5}$x（3≤x＜6）；
（3）作EG⊥AB于G，如图2，根据切线的判定定理，当EG=EC时，则以E为圆心，EC为半径作一个圆与AB相切，即EG=x，而BE=6-x，通过证明△BEG∽△BAD，根据相似比得到$\frac{x}{4}$=$\frac{6-x}{5}$，解得x=$\frac{24}{9}$，而3≤x＜6，于是可判断以E为圆心，EC为半径的圆不能与AB相切．

解答 解：（1）作AD⊥BC于D，如图1，
∵AB=AC=5，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，
∵EF平分△ABC的周长，
∴CE+CF=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）=8，
当x=3，即CE=3时，此时E点与D点重合，
∴CF=8-CE=5，
∴F点与A重合，
∴y=S_△ADC=$\frac{1}{2}$×3×4=6；
（2）作FH⊥BC于H，如图1，CE=x，则CF=8-x，
∵0＜x＜6且0＜8-x≤5，
∴3≤x＜6，
∵FH∥AD，
∴△CFH∽△CAD，
∴$\frac{FH}{AD}$=$\frac{CF}{CA}$，即$\frac{FH}{4}$=$\frac{8-x}{5}$，
∴FH=$\frac{4}{5}$（8-x），
∴y=$\frac{1}{2}$•CE•FH=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{4}{5}$（8-x）=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{16}{5}$x（3≤x＜6）；
（3）作EG⊥AB于G，如图2，
当EG=EC时，则以E为圆心，EC为半径作一个圆与AB相切，即EG=x，
而BE=6-x，
∵∠EBG=∠ABD，
∴△BEG∽△BAD，
∴$\frac{GE}{AD}$=$\frac{BE}{AB}$，即$\frac{x}{4}$=$\frac{6-x}{5}$，解得x=$\frac{24}{9}$，
而3≤x＜6，
∴以E为圆心，EC为半径的圆不能与AB相切．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定和等腰三角形的性质；会运用勾股定理和相似三角形的性质计算线段的长．