Question

11．定义感知：若抛物线的顶点为P，与y轴的交点为Q，则称直线PQ是该抛物线的“随形线”．
初步运用：判断下列伦断是否正确？正确的在题后括号内打“√”，错误“×”；
1．对称轴不是y轴的抛物线有且只有一条“随形线”．（√）
2．抛物线y=x²-4x+2的“随形线”是直线y=2x+2．（×）
拓展延伸：若直线y=-3x+3是某抛物线的“随形线”，该“随形线”与y轴交于点Q，且抛物线顶点P与点Q相距2$\sqrt{10}$个单位长度．
（1）试求该抛物线的解析式；
（2）问所得到的抛物线能否经过适当的平移，才能使平移后的图象所对应的函数解析式为y=$\frac{3}{2}{x}^{2}$？若能，说明平移的方法；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 1．根据过抛物线的顶点与抛物线与y轴的交点有且只有一条直线，可得答案；
2．根据自变量与函数值的对应关系，可得抛物线与y轴的交点，根据配方法，可得顶点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（1）根据“随形线”，可得抛物线与y轴的交点，根据交点与顶点的距离，可得顶点坐标，根据待定系数，可得函数解析式；
（2）根据函数解析式中a的值相同，函数图象可平移得到，根据函数图象的平移规律，可得答案．

解答 解：1．过两点有且只有一条直线，故对称轴不是y轴的抛物线有且只有一条“随形线”正确，（√）
2．y=x²-4x+2与y轴的交点坐标为（0，2）顶点坐标为（2，-2），
抛物线y=x²-4x+2的“随形线”是直线y=-2x+2．（×）
故答案为：√，×；
（1）当x=0时，y=3，即点Q的坐标为（0，3）设顶点P的坐标为（m，-3m+3），
由PQ=2$\sqrt{10}$，得m²+（3m-3+3）²=（2$\sqrt{10}$）²，
解得m₁=2，m₂=-2，
当m=2时，-3m+3=-3，即顶点P（2，-3）；
当m=-2时，-3m+3=9，即顶点P的坐标为（-2，9）．
当顶点（2，-3）时，设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-3，
将Q（0，3）代入函数解析式，得4a-3=3，解得a=$\frac{3}{2}$，
当顶点（2，-3）时，设抛物线的解析式为y=$\frac{3}{2}$（x-2）²-3；
当顶点（-2，9）时，设抛物线的解析式为y=a（x+2）²+9，
将Q（0，3）代入函数解析式，得4a+9=3，解得a=-$\frac{3}{2}$，
当顶点（2，-3）时，设抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{2}$（x-2）²-3；
综上所述：抛物线的解析式为y=$\frac{3}{2}$（x-2）²-3或y=-$\frac{3}{2}$（x-2）²-3；
（2）当抛物线的解析式为y=$\frac{3}{2}$（x-2）²-3时，可平移得到抛物线的解析式为y=$\frac{3}{2}$x²，
y=$\frac{3}{2}$（x-2）²-3的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为y=$\frac{3}{2}$x²；
当抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{2}$（x-2）²-3时不能平移得到抛物线的解析式为y=$\frac{3}{2}$x²，理由如下：
a不同，抛物线的开口方向不同，形状不同，平移不能使抛物线重合．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用了直线的性质，待定系数求函数解析式，把抛物线的解析式设成顶点式是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．图象平移的规律是：左加右减，上加下减．