Question

1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，BC=3，且BD=2CD，将线段DB绕点D逆时针方向旋转至DB′，当点B′刚好旋转到△ABC的边上，且△DBB′为等腰三角形时旋转角的度数为80°或120°．

Answer 1

分析 分类讨论：当点B′落在AB上，如图1，根据旋转的性质得∠BDB′等于旋转角，DB=DB′，则根据等腰三角形的性质得∠B=∠DB′B=50°，然后根据三角形内角和计算∠BDB′即可；当点B′落在AC上，如图2，则∠BDB′等于旋转角，DB=DB′，利用BD=2CD得到DB′=2CD，则根据余弦的定义可求出∠CDB′=60°，然后利用邻补角的定义计算∠BDB′的度数即可．

解答 解：当点B′落在AB上，如图1，
∵线段DB绕点D逆时针方向旋转至DB′，
∴∠BDB′等于旋转角，DB=DB′，
∴∠B=∠DB′B=50°，
∴∠BDB′=180°-50°-50°=80°，
即旋转角为80°；
当点B′落在AC上，如图2，则∠BDB′等于旋转角，DB=DB′，
∵BD=2CD，
∴DB′=2CD，
在Rt△CB′D中，∵coa∠CDB′=$\frac{CD}{DB′}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CDB′=60°，
∴∠BDB′=120°，
即旋转角为120°．
综上所述，△DBB′为等腰三角形时旋转角的度数为80°或120°．
故答案为80°或120°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是分类画出几何图形．