Question

【题目】阅读材料：各类方程的解法

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x=0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）=0，解方程x=0和x2+x﹣2=0，可得方程x3+x2﹣2x=0的解．

（1）问题：方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0，x2=________，x3=________；

（2）拓展：用“转化”思想求方程=x的解；

（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．

Answer 1

【答案】（1）-2；1；（2）x=3；（3）AP的长为4m .

【解析】

（1）对方程左边因式分解；(2)方程两边同时平方，得到一元二次方程，再因式分解；（3）根据题中的相等关系得到方程，再转化为一元二次方程.

（1）-2；1

（2）解： =x，

方程的两边平方，得2x+3=x2

即x2﹣2x﹣3=0

（x﹣3）（x+1）=0

∴x﹣3=0或x+1=0

∴x1=3，x2=﹣1，

当x=﹣1时， = =1≠﹣1，

所以﹣1不是原方程的解．

所以方程 =x的解是x=3

（3）解：因为四边形ABCD是矩形，

所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m

设AP=xm，则PD=（8﹣x）m

因为BP+CP=10，

BP= ，CP=

∴ + =10

∴ =10﹣

两边平方，得（8﹣x）2+9=100﹣20 +9+x2

整理，得5 =4x+9

两边平方并整理，得x2﹣8x+16=0

即（x﹣4）2=0

所以x=4．

经检验，x=4是方程的解．

答：AP的长为4m