Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于点E，垂足为点F，连接CD，BE．

（1）求证：CE=AD；
（2）当点D是AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不需要证明）

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵直线m∥AB，

∴EC∥AD．

又∵∠ACB=90°，

∴BC⊥AC．

又∵DE⊥BC，

∴DE∥AC．

∵EC∥AD，DE∥AC，

∴四边形ADEC是平行四边形．

∴CE=AD

（2）

当点D是AB中点时，四边形BECD是菱形．

证明：∵D是AB中点，DE∥AC（已证），

∴F为BC中点，

∴BF=CF

∵直线m∥AB，

∴∠ECF=∠DBF．

∵∠BFD=∠CFE，

∴△BFD≌△CFE

∴DF=EF．

∵DE⊥BC，

∴BC和DE垂直且互相平分．

∴四边形BECD是菱形

（3）

当∠A的大小是45°时，四边形BECD是正方形．

理由是：∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，

∴AC=BC，

∵D为BA中点，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB=90°，

∵四边形BECD是菱形，

∴四边形BECD是正方形，

即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形

【解析】（1）由BC⊥AC，DE⊥BC，得到DE∥AC，从而判断出四边形ADEC是平行四边形．即可，（2）先判断出△BFD≌△CFE，再判断出BC和DE垂直且互相平分，得到四边形BECD是菱形．（3）先判断出∠CDB=90°，从而得到有一个角是直角的菱形是正方形．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行四边形的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．