Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A(1，4)，点B(3，2)，连接OA，OB．

（1）求直线OB与AB的解析式；

（2）求△AOB的面积．

（3）下面两道小题，任选一道作答．作答时，请注明题号，若多做，则按首做题计入总分．

①在y轴上是否存在一点P，使△PAB周长最小．若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

②在平面内是否存在一点C，使以A，O，C，B为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点C坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线OB的解析式为，直线AB的解析式为y= -x+5（2）5；（3）①存在，(0，)；②存在，(2，-2)或(4，6)或(-2，2)

【解析】

（1）根据题意分别设出两直线的解析式，代入直线上两点坐标即可求出直线OB与AB的解析式；

（2）延长线段AB交x轴于点D，求出D的坐标，分别求出、由即可求得；

（3）①根据两点之间线段最短，A、B在y轴同侧，作出点A关于y的对称点，连接B与y轴的交点即为所求点P；

②使以A，O，C，B为顶点的四边形是平行四边形，则分三种情况分析，分别以OA、AB、OB为对角线作出平行四边形，利用中点坐标公式代入求解即可．

解：（1）设直线OB的解析式为y=mx，

∵点B(3，2)，

∴ ，

∴直线OB的解析式为，

设直线AB的解析式为y=kx+b，

根据题意可得：

解之得

∴直线AB的解析式为y= -x+5．

故答案为：直线OB的解析式为，直线AB的解析式为y= -x+5；

（2）如图，延长线段AB交x轴于点D，

当y=0时，-x+5=0，x=5，

∴点D横坐标为5，OD=5，

∴，

∴，

故答案为：5．

（3）①存在，(0，)；

过点A作y轴的对称点，连接B，交y轴与点P，则点P即为使△PAB周长最小的点，

由作图可知，点坐标为，又点B（3，2）

则直线B的解析式为：，

∴点P坐标为，

故答案为：；

②存在． 或或．

有三种情况，如图所示：设点C坐标为，

当平行四边形以AO为对角线时，

由中点坐标公式可知，AO的中点坐标和BC中点坐标相同，

∴

解得

∴点坐标为，

当平行四边形以AB为对角线时，AB的中点坐标和OC的中点坐标相同，则

∴点的坐标为，

当平行四边形以BO为对角线时，BO的中点坐标和AC的中点坐标相同，则

解得

∴点坐标为，

故答案为：存在，或或．