Question

如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x²-14x+48=0的两个实数根．
（1）求直线MN的函数关系式；
（2）点P从O出发，以每秒1个单位的速度沿x的正半轴匀速运动，运动时间为t，△ABP面积为S，求S与t的函数关系；
（3）在（2）的条件下，当t=4秒时，在平面内是否存在一点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）分P在线段OA上和在线段OA的延长线上时，两种情况进行讨论，利用三角形的面积公式求解；
（3）分平行四边形ACQP，平行四边形APCQ和平行四边形PQAC三种情况进行讨论，根据平行四边形的性质即可求解．

解答：解：（1）解方程x²-14x+48=0得：x₁=6，x₂=8，
则OA=8，OC=6，A的坐标是（8，0），C的坐标是（0，6）．
设直线MN的解析式是y=kx+b，
根据题意得：

8k+b=0 b=6

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
则直线MN的解析式是：y=-

3

4

x+6；
（2）当P在线段OA上时，即0≤t≤8时，AP=8-t，
则S=

1

2

×（8-t）×6=24-3t，
当t＞8时，AP=t-8，则S=

1

2

×（t-8）×6=3t-24；
（3）当t=4秒时，P的坐标是（4，0），
则当是平行四边形ACQP时，CQ∥x轴，且CQ=AP=4，则Q的坐标是（-4，6）；
当是平行四边形APCQ时，CQ∥AP且CQ=AP，则Q的坐标是（4，6）；
当是平行四边形PQAC时，AP的中点是（6，0），Q的纵坐标是-6，设横坐标是m，则

m

2

=6，
解得：m=12，
则Q的坐标是（12，-6）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及平行四边形的判定，正确对以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形进行讨论是关键．