Question

【题目】直线y＝x+8分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为4的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则PC长度的最小值是_____．

Answer 1

【答案】4﹣4．

【解析】

首先证明△MOC≌△NOA，推出∠MPN=90°，推出P在以MN为直径的圆上，所以当圆心G，点P，C三点共线时，PC长度的最小值．求出此时的PC即可．

在△MOC和△NOA中，

∵，∴△MOC≌△NOA（SAS），∴∠CMO=∠ANO．

∵∠CMO+∠MCO=90°，∠MCO=∠NCP，

∴∠NCP+∠CNP=90°，

∴∠MPN=90°，

∴MP⊥NP．

在正方形旋转的过程中，同理可证，∴∠CMO=∠ANO，可得∠MPN=90°，MP⊥NP，

∴P在以MN为直径的圆上．

∵直线y=x+8分别与x轴、y轴相交于点M，N，

∴M（﹣8，0），N（0，8），

∴圆心G为（﹣4，4），半径为4，

∵PG﹣GC≤PC，

∴当圆心G，点P，点C三点共线时，PC最小．

∵GN=GM，CN=CO=4，∴GCOM=4，

这个最小值为GP﹣GC=44．

故答案为：44．