Question

【题目】 已知：直线y=-x-4分别交x、y轴于A、C两点，点B为线段AC的中点，抛物线y=ax2+bx经过A、B两点，

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，连结AD、CD，问在抛物线上是否存在点P，使S△ACP=2S△ACD？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若E为⊙D上一动点(不与A、O重合)，连结AE、OE，问在x轴上是否存在点Q，使∠ACQ：∠AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x；（2）P坐标为(-3-，7+)或(-3+，7-)；（3）Q坐标为(4-8，0)、(-4-8，0)、(4，0)．

【解析】

（1）求直线y=-x-4与坐标轴交点A、C坐标，求AC中点B坐标，即能用待定系数法求抛物线的函数关系式；

（2）根据点B坐标(-2，-2)，可得D坐标为(-2，2)，所以△ADO、△ACO均为等腰直角三角形，连接AD并延长交y轴于点F，可知使S△ACP=2S△ACD的点P在过点F且平行于直线y=-x-4的直线上，求出直线与抛物线交点即使所求点P；

（3）由（2）可知，∠AEO度数有两种情况，当点E在优弧AO上时，∠ACQ=∠AEO=30°．构造直角三角形列方程即可求出Q坐标，当点E在劣弧AO上时，∠AEO=135°，∠ACQ=90°．由等腰直角三角形性质和对称即可求出点Q．

解：（1）∵直线y=-x-4中，y=0时，x=-4；x=0时，y=-4，

∴A(-4，0)，C(0，-4)，

∵点B为AC中点，

∴B(-2，-2)，

∵抛物线y=ax2+bx经过A、B两点，

∴ ，

解得：，

∴抛物线的函数关系式为y=x2+2x．

（2）在抛物线上存在点P使S△ACP=2S△ACD．

如图1，连接AD并延长交y轴于点F，

∵y=x2+2x=(x-2)2-2，

∴点B为抛物线的顶点，

∵点D为点B关于x轴的对称点，

∴D(-2，2)在抛物线的对称轴上，

∴DA=DO，∠DAO=∠DOA=45°，

∵OA=OC=4，∠AOC=90°，

∴∠OAC=45°，

∴∠DAC=∠DAO+∠OAC=90°，

∴S△ACD=ACAD，

∵∠AOF=90°，

∴AF为⊙D直径，即点F在⊙D上，

∴AF=2AD，OF=OA=4即F(0，4)，

∵S△ACP=2S△ACD=2ACAD=AC2AD=ACAF，

∴点P在过点F且平行于直线y=-x-4的直线上，

∴直线PF解析式为y=-x+4，

∵，

解得：；．

∴点P坐标为(-3-，7+)或(-3+，7-)；

（3）在x轴上存在点Q使∠ACQ：∠AEO=2：3．

∵∠OAD=∠ODA=45°，

∴∠ADO=90°，

∵点E在⊙D上且不与A、O重合，∠ACQ：∠AEO=2：3．

①如图2，当点E在优弧AO上时，∠AEO=∠ADO=45°，

∴∠ACQ=∠AEO=30°，

过点Q作QG垂直直线AC于点G，设QG=t，

∴Rt△CQG中，CQ=2QG=2t，CG=QG=t．

∴∠GAQ=∠OAC=45°，

∴Rt△AGQ中，AG=QG=t，AQ=QG=t．

i)若点Q在线段AO上时，如图2：

则AC=AG+CG=t+t=4，

解得：t=2-2，

∴AQ=，

∴xQ=-4+4-4=4-8；

ii)若点Q在线段OA延长上时，如图3：

则AC=CG-AG=t-t=4，

解得：，

∴AQ=，

∴xQ=-4-(4+4)=-4-8，

②当点E在劣弧AO上时，∠AEO=(360°-∠ADO)=135°，

∴∠ACQ=∠AEO=90°．

∵∠CAO=45°，△ACO是等腰直角三角形，

∴Q点与A点对称，A (-4，0)

∴xQ=4．

综上所述：满足条件的点Q有三个，坐标分别为(4-8，0)、(-4-8，0)、(4，0)