Question

【题目】已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，D为线段CB上一点（不与C，B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE=∠AED，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图（1），
①若∠BAC=42°，∠DAE=30°，则α= ， β= ．
②若∠BAC=54°，∠DAE=36°，则α= ， β= ．
③写出α与β的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），当E点在CA的延长线上时，其它条件不变，请直接写出α与β的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）12°；6°；18°；9°
（2）

解：α=2β﹣180°，理由是：

如图（2），设∠E=x°，则∠DAC=2x°，

∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=α+2x°，

∴∠B=∠ACB= ，

∵∠ADC=∠B+∠BAD，

∴β﹣x°= +α，

∴α=2β﹣180°．

【解析】解：（1）①∵∠DAE=30°，
∴∠ADE+∠AED=150°，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∵∠BAC=42°，
∴α=42°﹣30°=12°，
∴∠ACB=∠B= =69°，
∵∠ADC=∠B+α，
∴75°+β=69°+12°，
β=6°；
所以答案是：12°，6°；
②∵∠DAE=36°，
∴∠ADE+∠AED=144°，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∵∠BAC=54°，
∴α=54°﹣36°=18°，
∴∠ACB=∠B= =63°，
∵∠ADC=∠B+α，
∴72°+β=63°+18°，
β=9°；
所以答案是：18°，9°；
③α=2β，理由是：
如图（1），设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°﹣y°，
∵∠ACB=∠ABC，
∴∠ACB= ，
∵∠ADE=∠AED，
∴∠AED= ，
∴β+∠ADE=α+∠ABC，
β+ =α+ ，
∴α=2β；
【考点精析】通过灵活运用三角形的“三线”，掌握1、三角形角平分线的三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心);2、三角形中线的三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心);3、三角形的高线是顶点到对边的距离；注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内即可以解答此题．