Question

如图，P是函数y=

1

2x

（x＞0）图象上一点，直线y=-x+1交x轴于点A，交y轴于点B，PM⊥Ox轴于M，交AB于E，PN⊥Oy轴于N，交AB于F．则四边形OMPN的面积为

 

，AF•BE的值

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值k|即可求得四边形OMPN的面积；由于P的坐标为（a，

1

2a

），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF的长度也可以用a表示，接着F点、E点的坐标也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE．

解答：解：由反比例函数系数k的几何意义可得：S=|k|=

1

2

，
则四边形OMPN的面积=

1

2

．
∵P是函数y=

1

2x

（x＞0）图象上一点，
∴P的坐标为（a，

1

2a

），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐标为（0，

1

2a

），M点的坐标为（a，0），
∴BN=1-

1

2a

，
∵直线y=-x+1交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（1，0），B（0，1），
∴OA=OB，
∴∠OAB=OBA=45°，
∴在直角三角形BNF中，∠NBF=45°，
∴NF=BN=1-

1

2a

，
∴F点的坐标为（1-

1

2a

，

1

2a

），
同理可得出E点的坐标为（a，1-a），
∴AF²=（-

1

2a

）²+（

1

2a

）²=

1

2a2

，BE²=（a）²+（-a）²=2a²，
∴AF²•BE²=

1

2a2

•2a²=1，即AF•BE=1．
故答案为：

1

2

，1．

点评：本题考查了反比例函数和一次函数的交点的问题，过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值k|；解题关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值．