Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，延长AB到点E,连接EC,使得∠BCE=∠BAC

(1)求证：EC是⊙O的切线；

（2）过点A作AD⊥EC的延长线于点D,若AD=5，DE=12，求⊙O的半径.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2） .

【解析】

（1）连结OC，根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠1+∠2=90°，而∠1=∠A，∠A=∠BCE，所以∠BCE=∠1，即∠BCE+∠2=90°，然后根据切线的判定定理即可得到EC是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，在Rt△ADE中利用勾股定理计算出AE=13，则OE=13-r，OC=r，证明△EOC∽△EAD，利用相似比得到，即，然后解方程即可得到圆的半径．

（1）证明：连结OC，如图，

∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°，即∠BCO+∠ACO=90°，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠BAC，

又∵∠BCE=∠BAC，

∴∠BCE=∠OCA，

∴∠BCE+∠BCO=90°，

∴OC⊥EC，

∴EC是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r，

在Rt△ADE中，AD=5，ED=12，AE==13，

∴OE=13-r，OC=r

∵OC⊥EC，

∵AD⊥EC，

∴OC∥AD，

∴△EOC∽△EAD，

∴，即，

∴r=，

即⊙O的半径为．