Question

【题目】如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.

（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；

（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，

①如图2，若∠ADC=60°，求的值；

②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出的值.（用含α的三角函数表示）

Answer 1

【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）BG=EG，根据已知条件易证△BAG≌△EFG，根据全等三角形的对应边相等即可得结论；（2）①方法一：过点G作GM∥BH，交DH于点M，证明ΔGME∽ΔBHE，即可得，再证明是等边三角形，可得 ，由此可得；方法二：延长，交于点，证明ΔHBM为等边三角形，再证明∽ ，即可得结论；②如图3，连接EC交DF于O根据三角函数定义得cosα=，则OF=bcosα，DG=a+2bcosα，同理表示AH的长，代入计算即可．

（1），

理由如下：

∵四边形是平行四边形，

∴∥，.

∵四边形是菱形，

∴∥，.

∴∥，.

∴.

又∵，

∴≌ .

∴.

（2）方法1：过点作∥，交于点，

∴.

∵，

∴∽.

∴.

由（1）结论知.

∴.

∴.

∵四边形为菱形，

∴.

∵四边形是平行四边形，

∴∥.

∴.

∵∥，

∴.

∴，

即.

∴是等边三角形。

∴.

∴.

方法2：延长，交于点，

∵四边形为菱形，

∴.

∵四边形为平形四边形，

∴，∥.

∴.

,

即.

∴为等边三角形.

∴.

∵∥，

∴,.

∴∽ ，

∴.

由（1）结论知

∴.

∴.

∵,

∴ .

（3）. 如图3，连接EC交DF于O，

∵四边形CFED是菱形，

∴EC⊥AD，FD=2FO，

设FG=a，AB=b，则FG=a，EF=ED=CD=b，

Rt△EFO中，cosα=，

∴OF=bcosα，

∴DG=a+2bcosα，

过H作HM⊥AD于M，

∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α，

∴AH=HD，

∴AM=AD=（2a+2bcosα）=a+bcosα，

Rt△AHM中，cosα=，

∴AH=，

∴==cosα．