Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,O是AB上一点，经过A,E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF.

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若sin∠EFA=,AF=,求线段AC的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）6.4.

【解析】

（1）连接OE，根据等腰三角形的性质和角平分线定义可得，根据平行线的判定可得OE∥AC，再由平行线的性质可得∠BEO=∠C=90°，即可证得结论；（2）连接,根据已知条件易证.在中，根据勾股定理求得.根据同弧所对的圆周角相等及已知条件可得.在中求得AE的长，再证明ΔACE∽ΔAED，根据相似三角形的性质即可求得线段AC的长.

证明：（1）如图1，连接，

∵，

∴.

∵平分，

∴.

∴.

∴∥ ,

∴.

∴

∵为的半径，

∴是的切线.

（2）如图2，连接.

由题可知为的直径，

∴.

∵平分，

∴.

∴.

∴△AFD为等腰直角三角形，

∴.

在中，，

∴.

∴.

∵，，

∴.

在中，.

∴ .

∵，，

∴∽.

∴.

∴（或6.4）