Question

如图，在△ABC中，AB=AC，EF为△ABC的中位线，点G为EF的中点，连接BG，CG．
（1）求证：BG=CG；
（2）当∠BGC=90°时，过点B作BD⊥AC，交GC于H，连接HF，求证：BH=FH+CF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：证明题

分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得∠ABC=∠ACB，有中位线定理和点G为EF的中点可证明△BEG≌△CFG，从而得出结论；
（2）延长BG交AC于M，根据题意可证明△BGH≌CGM，得出BH=CM，GH=GM，还可证明△GMF≌△GHF，则MF=HF，即可证明BH=FH+CF．

解答：证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵EF为中位线，
∴BE=

1

2

AB=CF，EF∥BC，
∴∠1+∠ABC=∠EFC+∠ACB=180°，
∴∠1=∠EFC，
又∵G为EF的中点，
∴EG=GF，
∴在△BEG和△CFG中，

BE=CF ∠1=∠EFC EG=FG

∴△BEG≌△CFG，
∴BG=CG；
（2）延长BG交AC于M，
∵∠BGC=90°，BD⊥AC，
∴∠2=90°-∠GHB=90°-∠DHC=∠3，
在△BGH和CGM中，

∠BGH=∠CGM=90° BG=CG ∠2=∠3

∴△BGH≌CGM，
∴BH=CM，GH=GM
又∵EF∥BC，
∴∠4=∠GCB=45°，
∴∠5=90°-∠4=45°=∠4
在△GMF和△GHF中

GM=GH ∠5=∠4 GF=FG

，
∴△GMF≌△GHF，
∴MF=HF，
∴BH=CM=MF+FC=FH+FC．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的中位线定理，是中考常见题型，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．