【题目】如图是某居民小区的一块宽为2a米,长为b米的长方形空地,为了美化环境,准备在这块长方形空地的四个顶点处修建一个半径为a米的扇形花台,然后在花台内种花,其余种草.
(1)请分别用含a、b的式子表示种花和种草的面积.(答案保留π)
(2)如果建造花台及种花费用每平方米需要资金100元,种草每平方米需要资金50元,那么美化这块空地共需资金多少元?(答案保留π)
【答案】(1)πa2平方米,(2ab﹣πa2)平方米;(2)50πa2+100ab元.
【解析】
(1)根据题意列出代数式解答即可;
(2)花台面积为πa2平方米,所需资金为πa2×100.草地面积为(2ab﹣πa2)平方米,所需资金为(2ab﹣πa2)×50.共需资金为花台所需资金+草地所需资金.
(1)长方形总面积为2ab平方米,4个扇形花台的面积合起来是πa2平方米(一个半径为a米的圆),种草面积为长方形面积减去阴影部分面积:(2ab﹣πa2)平方米;
(2)所需资金为100πa2+50(2ab﹣πa2)=50πa2+100ab(元)
答:美化这块空地共需资金50πa2+100ab元.
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【题目】如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合),连接BP.将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角(0°<α<180°),得到△A1B1P,连接AA1 , 射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.
(1)如图1,当0°<α<60°时,在α角变化过程中,△BEF与△AEP始终存在关系(填“相似”或“全等”),并说明理由;
(2)如图2,设∠ABP=β.当60°<α<180°时,在α角变化过程中,是否存在△BEF与△AEP全等?若存在,求出α与β之间的数量关系;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,当α=60°时,点E、F与点B重合.已知AB=4,设DP=x,△A1BB1的面积为S,求S关于x的函数关系式.
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【题目】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1 , S2 , S3 , 若S1+S2+S3=10,则S2的值是 .
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【题目】列方程解应用题:
(1)某校安排学生宿舍,如果每间住人,就会有
人没有宿舍住;如果每间住
人,就会空出
间宿舍.这个学校有多少间宿舍?一共要安排多少个学生?
(2)一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶用小时,从乙码头到甲码头逆流行驶用
小时
分钟,已知水流速度为
千米/小时,则船在静水中的平均速度是多少?
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【题目】光明中学有两块边长为x米的正方形空地,现设想按两种方式种植草皮,方式一:如图①,在正方形空地上留两条宽为2m米的路,其余种植草皮;方式二:如图②,在正方形空地四周各留一块边长为m米的正方形空地植树,其余种植草皮.学校准备两种方式都用5000元购进草皮.
(1)写出按图①,②两种方式购买草皮的单价;
(2)当x=14,m=2时,求按两种方式购买草皮的单价各是多少(结果均保留整数).
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【题目】建立模型:
如图1,已知△ABC,AC=BC,∠C=90°,顶点C在直线l上.
操作:
过点A作AD⊥l于点D,过点B作BE⊥l于点E.求证:△CAD≌△BCE.
模型应用:
(1)如图2,在直角坐标系中,直线l1:y=x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,将直线l1绕着点A顺时针旋转45°得到l2.求l2的函数表达式.
(2)如图3,在直角坐标系中,点B(8,6),作BA⊥y轴于点A,作BC⊥x轴于点C,P是线段BC上的一个动点,点Q(a,2a﹣6)位于第一象限内.问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形,若能,请求出此时a的值,若不能,请说明理由.
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【题目】如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠后,使得点D与点B重合,点C落在点C′的位置上.
(1)△BEF是等腰三角形吗?试说明理由;
(2)若AB=4,AD=8,求CF的长度.
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【题目】数学课上,李老师出示了如下框中的题目.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写出结论:AEDB(填“>”,“<”或“=”).
(2)特例启发,解答题目
解:题目中,AE与DB的大小关系是:AEDB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:
如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F,(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).
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