Question

【题目】如图，在ABC中，高AD、BE相交于点O，AE＝BE，BC＝5，且BD＝CD.

(1)①求证:△AOE≌△BCE；②求线段AO的长.

(2)动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t相应的的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)①见解析；②5；（2）S＝

【解析】

(1) ①根据ASA证明△AOE≌△BCE；

②由①中△AOE≌△BCE可得AO＝BC＝5；

(2)分两种情形讨论求解即可：①当点Q在线段BD上时，QD=2-4t，②当点Q在射线DC上时，DQ=4t-2时；

（1）①∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵BE是高，
∴∠AEB=∠BEC=90°，
∴∠EAO+∠ACD=90°，∠EBC+∠ECB=90°，
∴∠EAO=∠EBC，
在△AOE和△BCE中，
，

∴△AOE≌△BCE，
②∵△AOE≌△BCE，

∴AO=BC,

又∵BC=5，

∴AO＝5;

（2）∵BD=CD，BC=5，
∴BD=2，CD=3，
由题意OP=t，BQ=4t，
①当点Q在线段BD上时，QD=2-4t，
∴S=t（2-4t）=-2t2+t（0＜t＜）．
②当点Q在射线DC上时，DQ=4t-2，
∴S=t（4t-2）=2t2-t（＜t≤5），

综合上述可得：S＝ .