Question

15．如图，直线AB经过点A（-3，0），B（0，2），经过点D（0，4）并且与y轴垂直的直线CD与直线AB交于第一象限内点C．
（1）求直线AB的表达式；
（2）在x轴上有一点Q，若△AQC的面积为8，求点Q的坐标；
（3）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得△OCP为等腰三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在线段CA上有一动点E，联接OE，以OE为一边作正方形OEMN，请直接写出正方形OEMN的最小面积值是多少？

Answer 1

分析 （1）设直线AB解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AB解析式；
（2）设Q（q，0），过C作CM⊥AQ，如图所示，表示出AQ，由直线AB解析式求出C坐标，求出CM的长，根据三角形AQC面积为8求出q的值，确定出满足题意Q的坐标即可；
（3）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△OCP为等腰三角形，分三种情况考虑，如图所示：若PC=PO，P在线段OC垂直平分线上，求出此时P的坐标；若OC=PO，求出OC长，即为OP长，确定出P坐标；若CO=CP，求出P坐标即可；
（4）当OE垂直于直线AB时，以OE为一边作正方形OEMN面积最小，利用点到直线的距离公式求出OE的长，即可确定出正方形OEMN面积最小值．

解答 解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，
把A（-3，0），B（0，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
则直线AB解析式为y=$\frac{2}{3}$x+2；
（2）设Q（q，0），过C作CM⊥AQ，如图所示，
对于直线AB解析式y=$\frac{2}{3}$x+2，把y=4代入得：x=3，即C（3，4），
∴AQ=|q+3|，CM=4，
∴S_△AQC=$\frac{1}{2}$AQ•CM=2|q+3|=8，即|q+3|=4，
解得：q=1或q=-7，
则Q坐标为（1，0）或（-7，0）；
（3）在x轴的正半轴上存在一点P，使得△OCP为等腰三角形，
分三种情况考虑，如图所示：
若PC=PO时，此时P在线段OC垂直平分线上，
∵C（3，4），
∴线段OC中点坐标为（$\frac{3}{2}$，2），
设直线OC解析式为y=cx，把C坐标代入得：c=$\frac{4}{3}$，
即直线OC解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
∴线段OC垂直平分线方程为y-2=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{3}{2}$），
令y=0，得到x=$\frac{25}{6}$，此时P（$\frac{25}{6}$，0）；
若OC=PO时，由勾股定理得：OC=5，即OP=5，
此时P坐标为（5，0）；
若CO=CP时，P坐标为（6，0）；
（4）当OE⊥AC，垂足为点E时，以OE为一边作正方形OEMN面积最小，
∵O（0，0），直线AC解析式为y=$\frac{2}{3}$x+2，即2x-3y+6=0，
∴OE=$\frac{|6|}{\sqrt{{2}^{2}+（-3）^{2}}}$=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，
此时正方形OEMN面积最小值为OE²=$\frac{36}{13}$．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，线段垂直平分线定理，以及点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．