Question

【题目】如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

过O作OM垂直于AB，交AB于点M，交A1B1于点N，由三角形OAB与三角形OA1B1都为等腰直角三角形，得到M为AB的中点，N为A1B1的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出OM为AB的一半，由AB＝1求出OM的长，再由ON为A1B1的一半，即为MN的一半，可得出ON与OM的比值，求出MN的长，即为第1个正方形的边长，同理求出第2个正方形的边长，依此类推即可得到第n个正方形的边长．

解：过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：

∵正方形A1B1C1D1，

∴A1B1∥AB，∴ON⊥A1B1，
∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，
∴OM＝AB＝，
又∵△OA1B1为等腰直角三角形，
∴ON＝A1B1＝MN，
∴ON：OM＝1：3，

∴ON=OM=，
∴第1个正方形的边长A1C1＝MN＝OM＝×＝，
同理第2个正方形的边长A2C2＝ON＝×＝，
则第n个正方形AnBnDnCn的边长．

故答案为：．