Question

【题目】如图，在菱形中，，，为线段上一动点，且不与点重合，过点作交于点，将沿折叠，点落在直线上点处，连接、，当为等腰三角形时，的长是_________．

Answer 1

【答案】或2或

【解析】

△CDF是等腰三角形，存在3种情况：

（1）DF=DC；

（2）DF=FC；

（3）CF=CD

在这3种情况下，在分别分析

存在3种情况，下面依次分析

情况一：DF=DC，如下图

∵∠A=45°，EP⊥AB，△EFP是△EAP折叠得到

∴∠EFP=∠A=45°

∴∠AEF=90°，∴∠FED=90°

设AP=x，则EP=PF=x，AE=EF=x

∵菱形的边长为4，∴ED=4－x，DF=4

∴在Rt△EDF中，，即：

解得：x=2，∴AP=2

情况二：DF=FC

如下图，过点D作AB的垂线，交AB于点H，过线段DC中点G作垂线，交AB延长线于点F

∵∠A=45°，DH⊥AB，菱形边长为4

∴AD=4，AH=DH=2

∵DF=FC，∴过点DC作垂直平分线，与AB的交点即为点F，即如图所示

∵DC=4，∴DG=GC=HF=2

∴AF=2

∵点P是AF的中点

∴AP=

情况三：CF=CD

∵CF=CD

∴CF=CD=4，则点F与点B重合

∴AP=2

综上得：AP=2或或2