【题目】如图,在⊙O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为点D,点E在OC的延长线上,∠EAC=∠BAC
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若AB=8,cosE=,求CD的长.
【答案】(1)见解析;(2)CD= 2.
【解析】
(1)连接OA,求出∠AOC=∠BAE,求出∠OAE=90°,根据切线的判定得出即可;
(2)根据垂径定理求出AD,证明△ODA∽△OAE,得到∠OAD=∠E,根据正切的定义计算即可.
(1)证明:连接OA,
∵AB⊥OC,OC过O,
∴,
∴∠CAB=∠AOC,
∵∠EAC=∠BAC,
∴∠EAB=∠AOC,
∵OC⊥AB,
∴∠ODA=90°,
∴∠OAB+∠AOC=90°,
∴∠OAB+∠BAE=90°,
即OA⊥AE,
∵OA过点O,
∴AE是⊙O的切线;
(2)解:∵OD⊥AB,AB=8,
∴AD=AB=4,
∵∠OAE=∠ODA=90°,∠O=∠O,
∴△ODA∽△OAE,
∴∠OAD=∠E,
∵cosE=,
∴cos∠OAD=,
∴OA=5,
∴OD=3,
∴CD=OC-OD=5-3=2.
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【题目】二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线 x=1,下列结论:①ab<0;②b2>4ac;③a+b+2c<0;④3a+c<0. 其中正确的是( )
A.①④B.②④C.①②③D.①②③④
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【题目】如图,一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.
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【题目】如图,量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,其中量角器零刻度线的端点N与点A重合,射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒4度的速度旋转,CP与量角器的半圆弧交于点E,第18秒时,点E在量角器上对应的读数是__________度.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于A(﹣2,0),点B(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线上的一动点,且在直线BC的上方,当S△MBC取得最大值时,求点M的坐标;
(3)在直线的上方,抛物线是否存在点M,使四边形ABMC的面积为15?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B
(1)求证:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长.
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【题目】某家电销售商店1-6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示(单位:台):
(1)分别求该商店这段时间内甲、乙两种品牌冰箱周销售量的平均数和方差;
(2)根据计算结果及折线统计图,对该商店今后采购这两种品牌冰箱的意向提出建议,并说明理由.
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【题目】如图,在菱形中,,,为线段上一动点,且不与点重合,过点作交于点,将沿折叠,点落在直线上点处,连接、,当为等腰三角形时,的长是_________.
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【题目】下面是娜娜设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.
已知:RT△ABC,
求作:AB上作点D,使∠BCD=∠A.
作法:如图,以AC为直径作圆,交AB于D,所以点D就是所求作的点;
根据娜娜设计的作图过程,完成下面的证明.
证明:∵AC是直径
∴∠ADC=90°(______)(填推理的依据)
即∠ACD+∠A=90°,
∵∠ACB=90°,
即∠ACD+_______=90°,
∴∠BCD=∠A(_______)(填推理的依据).
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