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【题目】如图,一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点.

(1)求这个抛物线的解析式;

(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少?

(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.

【答案】(1)y=﹣x2+x+2(2)当t=2时,MN有最大值4(3)D点坐标为(0,6),(0,﹣2)或(4,4)

解析解:(1)分别交y轴、x轴于A、B两点,

A、B点的坐标为:A(0,2),B(4,0)。

将x=0,y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2;

将x=4,y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2,解得b=

抛物线解析式为:y=﹣x2+x+2。

(2)如图1,

设MN交x轴于点E,则E(t,0),BE=4﹣t。

ME=BEtanABO=(4﹣t)× =2﹣t

N点在抛物线上,且xN=t,yN=﹣t2+t+2

当t=2时,MN有最大值4

(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5).

如图2,

以A、M、N、D为顶点作平行四边形,D点的可能位置有三种情形

(i)当D在y轴上时,设D的坐标为(0,a)

由AD=MN,得|a﹣2|=4,解得a1=6,a2=﹣2,

从而D为(0,6)或D(0,﹣2)

(ii)当D不在y轴上时,由图可知D为D1N与D2M的交点,

由D1(0,6),N(2,5)易得D1N的方程为y=x+6

由D2(0,﹣2),M(2,1)D2M的方程为y=x﹣2

由两方程联立解得D为(4,4)

综上所述,所求的D点坐标为(0,6),(0,﹣2)或(4,4)

(1)首先求得A、B点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式

(2)求得线段MN的表达式,这个表达式是关于t的二次函数,利用二次函数的极值求线段MN的最大值

(3)明确D点的可能位置有三种情形,如图2所示,不要遗漏.其中D1、D2在y轴上,利用线段数量关系容易求得坐标;D3点在第一象限,是直线D1N和D2M的交点,利用直线解析式求得交点坐标

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