【题目】如图,一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+x+2(2)当t=2时,MN有最大值4(3)D点坐标为(0,6),(0,﹣2)或(4,4)
【解析】解:(1)∵分别交y轴、x轴于A、B两点,
∴A、B点的坐标为:A(0,2),B(4,0)。
将x=0,y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2;
将x=4,y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2,解得b=。
∴抛物线解析式为:y=﹣x2+x+2。
(2)如图1,
设MN交x轴于点E,则E(t,0),BE=4﹣t。
∵,
∴ME=BEtan∠ABO=(4﹣t)× =2﹣t。
又∵N点在抛物线上,且xN=t,∴yN=﹣t2+t+2。
∴。
∴当t=2时,MN有最大值4。
(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5).
如图2,
以A、M、N、D为顶点作平行四边形,D点的可能位置有三种情形。
(i)当D在y轴上时,设D的坐标为(0,a),
由AD=MN,得|a﹣2|=4,解得a1=6,a2=﹣2,
从而D为(0,6)或D(0,﹣2)。
(ii)当D不在y轴上时,由图可知D为D1N与D2M的交点,
由D1(0,6),N(2,5)易得D1N的方程为y=x+6;
由D2(0,﹣2),M(2,1)D2M的方程为y=x﹣2。
由两方程联立解得D为(4,4)。
综上所述,所求的D点坐标为(0,6),(0,﹣2)或(4,4)。
(1)首先求得A、B点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式。
(2)求得线段MN的表达式,这个表达式是关于t的二次函数,利用二次函数的极值求线段MN的最大值。
(3)明确D点的可能位置有三种情形,如图2所示,不要遗漏.其中D1、D2在y轴上,利用线段数量关系容易求得坐标;D3点在第一象限,是直线D1N和D2M的交点,利用直线解析式求得交点坐标。
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【题目】小明在课外研究中,设计如下题目:直线过点,,直线与曲线交于点.
(1)求直线和曲线的关系式.(图1)
(2)小明发现曲线关于直线对称,他把曲线与直线的交点叫做曲线的顶点.(图2)
①直接写出点的坐标;
②若点从点出发向上运动,运动到时停止,求此时的面积.
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【题目】使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量(单位:)与旋钮的旋转角度(单位:度)()近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中,作内接正方形A1B1C1D1;在等腰直角三角形OA1B1中,作内接正方形A2B2C2D2;在等腰直角三角形OA2B2中,作内接正方形A3B3C3D3;……;依次作下去,则第n个正方形AnBnCnDn的边长是________.
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【题目】已知二次函数y=2x2+m.(1)若点(-2,y1)与(3,y2)在此二次函数的图象上,则y1_________y2(填“>”、“=”或“<”);(2)如图,此二次函数的图象经过点(0,-4),正方形ABCD的顶点C、D在x轴上,A、B恰好在二次函数的图象上,求图中阴影部分的面积之和.
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【题目】为了落实党的“精准扶贫”政策,甲、乙两城决定向、两乡运送肥料以支持农村生产,已知甲、乙两城共有肥料800吨,其中乙城肥料是甲城的2倍少100吨,从甲城往、两乡运肥料的费用分别为20元吨和25元吨;从乙城往、两乡运肥料的费用分别为15元吨和26元吨.现乡需要肥料440吨,乡需要肥料360吨.
(1)甲城和乙城各有多少吨肥料?
(2)设从甲城运往乡肥料吨,总运费为元,求出最少总运费.
(3)由于更换车型,使甲城运往乡的运费每吨减少元,这时从甲城运往乡肥料多少吨才能使总运费最少,最少是多少?
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【题目】如图,在⊙O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为点D,点E在OC的延长线上,∠EAC=∠BAC
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若AB=8,cosE=,求CD的长.
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【题目】如图,在等腰三角形△ABC中,O为底边BC的中点,以O为圆心作半圆与AB,AC相切,切点分别为D,E.过半圆上一点F作半圆的切线,分别交AB,AC于M,N.那么的值等于( )
A.B.C.D.1
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