【题目】如图1,在正方形中,点是的中点,点是边上一点,且.
(1)求证:;
(2)将“正方形”改成“矩形”,其他条件均不变,如图2,你认为仍然有“”吗?若你同意,请以图2为例加以证明;若你不同意,请说明理由.
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】
(1)延长AE交BC的延长线于G点,如图1,由正方形性质得AD∥CG,∠D=∠BCD=∠DCG=90°,再证明△ADE≌△GCE得到AE=GE,∠DAE=∠G,接着证明FA=FG,然后根据等腰三角形的性质得到结论;
(2)延长AE交BC的延长线于G点,如图2,证明的方法与(1)一样,也可得到EF⊥AE.
(1)延长交的延长线于点,如图1,
∵四边形是正方形,
∴,,
∵是的中点,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,即;
(2)仍然有“”,证明如下:
延长交的延长线于点,如图2,
∵四边形是矩形,
∴,,
∵是的中点,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,即.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于A(﹣2,0),点B(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线上的一动点,且在直线BC的上方,当S△MBC取得最大值时,求点M的坐标;
(3)在直线的上方,抛物线是否存在点M,使四边形ABMC的面积为15?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某家电销售商店1-6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如图所示(单位:台):
(1)分别求该商店这段时间内甲、乙两种品牌冰箱周销售量的平均数和方差;
(2)根据计算结果及折线统计图,对该商店今后采购这两种品牌冰箱的意向提出建议,并说明理由.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°.
(1)用直尺和圆规作⊙O,使它经过A、B、D三点(保留作图痕迹);
(2)点C是否在⊙O上?请说明理由.
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【题目】如图,在菱形中,,,为线段上一动点,且不与点重合,过点作交于点,将沿折叠,点落在直线上点处,连接、,当为等腰三角形时,的长是_________.
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【题目】如图,是的直径,点是上一点,点是的中点,过点作的切线,与、的延长线分别交于点、,连接.
(1)求证:.
(2)填空:
①已知,当_________时,.
②连接、、.当的度数为_________时,四边形是菱形.
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【题目】如图,一段抛物线:y=-x(x-2)(0≤x≤2)记为C1 ,它与x轴交于两点O,A;将C1绕点A旋转180°得到C2 , 交x轴于A1;将C2绕点A1旋转180°得到C3 , 交x轴于点A2 . .....如此进行下去,直至得到C2018 , 若点P(4035,m)在第2018段抛物线上,则m的值为________.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D,过点D作AC的垂线交AC于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:DE与⊙O相切;
(2)若CD=BF,AE=3,求DF的长.
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