Question

14．已知三角形ABC中，AB=$\sqrt{2}$，∠A=45度，cosA、cosC是方程4x²-2（1+$\sqrt{2}$）x+m=0的两个根．求：
（1）∠B的度数；  
（2）m的值；   
（3）AC边的长．

Answer 1

分析 （1）利用特殊角的三角函数值得到cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再根据根与系数的关系得cosA+cosC=-$\frac{-2（1+\sqrt{2}）}{4}$，则可计算出cosC=$\frac{1}{2}$，所以∠C=60°，然后利用三角形内角和求∠B的度数；
（2）根据根与系数的关系得cosA•cosC=$\frac{m}{4}$，所以m=2$\sqrt{2}$+2；
（3）如图，作BD⊥AC于D，先利用△ABD为等腰直角三角形得到AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=1，再在Rt△BDC中，利用∠C=60°得到=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，然后计算AD+CD即可．

解答 解：（1）∵∠A=45度，
∴cosA=cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵cosA+cosC=-$\frac{-2（1+\sqrt{2}）}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$+cosC=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∴∠C=60°，
∴∠B=180°-45°-60°=75°；
（2）∵cosA•cosC=$\frac{m}{4}$，
∴m=4（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$）=2$\sqrt{2}$+2；
（3）如图，作BD⊥AC于D，
∵∠A=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$=1，
在Rt△BDC中，∵∠C=60°，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AC=AD+CD=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了一元二次方程的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．也考查了根与系数的关系和解直角三角形．