Question

【题目】（1）如图1，在△ABC中,∠ACB是直角,∠ABC=60°，AD、CE、BF分别是∠BAC、∠BCA、∠ABC的平分线，AD、CE、BF相交于点F.

①请求出∠AFC的度数并说明理由；

②请你判断FE与FD之间的数量关系并说明理由。

（2）如图2,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请判断线段AE、CD、AC之间的数量关系并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）①120；②EF=DF；理由见解析（2）AE+CD=AC，理由见解析

【解析】

（1）①根据三角形内角和及外角的性质求出∠FAC，∠ACF即可解决问题；

②根据图（1）的作法，在AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD（SAS），得出DF=GF；再根据ASA证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；

（2）根据图（1）的作法，在AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF（SAS），得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题.

（1）①∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，

∴∠BAC=90°-60°=30°，

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC=15°，∠FCA=45°，

∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠ACF）=120°

故答案为：120°；

②FE与FD之间的数量关系为：DF=EF．

理由：如图2，在AC上截取CG=CD，

∵CE是∠BCA的平分线，

∴∠DCF=∠GCF，

在△CFG和△CFD中，

，

∴△CFG≌△CFD（SAS），

∴DF=GF．

∵∠ABC=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，且∠EAF=∠GAF，

∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°-∠B）=60°，

∴∠AFC=120°，

∴∠CFD=60°=∠CFG，

∴∠AFG=60°，

又∵∠AFE=∠CFD=60°，

∴∠AFE=∠AFG，

在△AFG和△AFE中，

，

∴△AFG≌△AFE（ASA），

∴EF=GF，

∴DF=EF；

（2）结论：AC=AE+CD．

理由：如图3，在AC上截取AG=AE，

同（1）可得，△EAF≌△GAF（SAS），

∴∠EFA=∠GFA．

又由题可知，∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，

∴∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°-∠B）=60°，

∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=120°，

∴∠EFA=∠GFA=180°-120°=60°=∠DFC，

∴∠CFG=∠CFD=60°，

同（1）可得，△FDC≌△FGC（ASA），

∴CD=CG，

∴AC=AG+CG=AE+CD．