Question

6．在四边形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=3$\sqrt{5}$．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；
（3）点M在（2）中直线DE上，四边形ODMN是菱形，求N的坐标．

Answer 1

分析 （1）作BH⊥OA于H，根据矩形的性质求出OH的长，根据勾股定理求出BH的长，得到点B的坐标；
（2）作EG⊥OA于G，得到△OGE∽△OHB，根据题意和相似三角形的性质求出点E、D的坐标，运用待定系数法求出直线DE的解析式；
（3）作MP⊥y轴于点P，得到△MPD∽△FOD，根据相似三角形的性质和勾股定理计算即可．

解答 解：如图1，作BH⊥OA于H，则四边形OHBC为矩形，
∴OH=CB=3，
∴AH=OA-OH=3，
∴BH=$\sqrt{B{A}^{2}-A{H}^{2}}$=6，
∴点B的坐标为（3，6）；
（2）如图1，作EG⊥OA于G，则EG∥BH，
∴△OGE∽△OHB，
∴$\frac{OE}{OB}$=$\frac{OG}{OH}$=$\frac{EG}{BH}$，
∵OE=2EB，
∴$\frac{OE}{OB}$=$\frac{2}{3}$，又OH=3，BH=6，
∴OG=2，EG=4，
∴点E的坐标为（2，4），
∵OC=BH=6，OD=5，
∴点D的坐标为（0，5），
设直线DE的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{b=5}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线DE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+5；
（3）如图2，作MP⊥y轴于点P，
∵四边形ODMN是菱形，
∴DM=MN=NO=OD=5，
∵MP∥OA，
∴△MPD∽△FOD，
∴$\frac{MP}{OF}$=$\frac{MD}{DF}$=$\frac{PD}{OD}$，
当y=0，即-$\frac{1}{2}$x+5=0时，x=10，
∴点F的坐标为（0，10），
∴DF=$\sqrt{O{D}^{2}+O{F}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
∴$\frac{MP}{10}$=$\frac{PD}{5}$=$\frac{5}{5\sqrt{5}}$，
解得，MP=2$\sqrt{5}$，PD=$\sqrt{5}$，
∴OP=5+$\sqrt{5}$，
∴N的坐标为（-2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查的是一次函数知识的综合运用，掌握矩形的性质定理、菱形的性质定理、相似三角形的判定和性质定理以及待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．