Question

【题目】如图1，在菱形ABCD中，AB=，∠BCD=120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN=CD，连接CM、AM、BN.

（1）当∠DCM=30°时，求DM的长度；

（2）如图2，延长BN、DC交于点E，求证：AM·DE=BE·CD；

（3）如图3，连接AN，则AM+AN的最小值是 .

Answer 1

【答案】（1）1;（2）见解析;（3）当BN⊥CD时有最小值3.

【解析】

（1）过点M作MP⊥CD于点P，根据菱形的性质求∠DCM=30°，进而可知∠CDM=∠DCM，△DMC是等腰三角形，再利用等腰三线合一，求得，进而可得DM值.

（2）先根据已知条件证得四边形ABCD是平行四边形，求得MN=CD，NB=AM，利用平分线所分线段对应成比例得到，再进行等量代换即可答案.

（3）根据题意可知当AM⊥MN时，AM+AN的最小值，利用特殊三角函数值求得此时AM、MN的值即可.

（1）

过点M作MP⊥CD于点P

∵四边形ABCD是菱形, AB=

∴CD=AB=BC=

∴∠CDB=

∵∠DCM=30°

∴∠CDM=∠DCM

∴△DMC是等腰三角形

∵MP⊥CD

∴

∴DM=

（2）∵四边形ABCD 是菱形

∴CD=AB，AB∥CD

∵MN=CD，MN∥CD

∴MN=AB，MN∥AB

∴四边形ABMN是平行四边形

∴NB=AM

∵MN∥CD

∴

∵MN=CD，NB=AM

∴即AM·DE=BE·CD

（3）由（2）可知MN=AB=,那么根据题意当AM⊥MN时，AM+AN最短.

∵∠CDB=（已求），DC∥AB

∴∠MBA=∠CDB=

∵AM⊥MN,MN∥AB

∴∠MAB=

∵AB=

∴AM=1

∴在Rt△AMN中，利用勾股定理得

则AM+AN=1+2=3

∴当BN⊥CD时，AM+AN有最小值3.