Question

【题目】在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN90°．

（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；

（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°<α<45°）．

①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

②如图2，在旋转过程中，当∠DOM15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请求出线段EF的长；

③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BDm·BP时，请直接写出PE与PF的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）PE=PF；（2）①成立，理由参见解析；②；③PE=2PF，理由见解析；PE=（m-1）·PF．

【解析】

（1）根据正方形的性质和角平分线的性质解答即可；
（2）①根据正方形的性质和旋转的性质证明△FOA≌△EOD，得到答案；
②作OG⊥AB于G，根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可；
③过点P作HP⊥BD交AB于点H，根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系，根据解答结果总结规律得到当BD=mBP时，PE与PF的数量关系．

解：（1）PE=PF，理由：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=∠DAC，又PM⊥AD、PN⊥AB，
∴PE=PF；
（2）①成立，理由：
∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴OA=OD，∠FAO=∠EDO=45°，∠AOD=90°，
∴∠DOE+∠AOE=90°，
∵∠MPN=90°，
∴∠FOA+∠AOE=90°，
∴∠FOA=∠DOE，
在△FOA和△EOD中， ，
∴△FOA≌△EOD，
∴OE=OF，即PE=PF；

②作OG⊥AB于G，
∵∠DOM=15°，
∴∠AOF=15°，则∠FOG=30°，
∵cos∠FOG=，
∴OF=，

又OE=OF，
∴EF= ；
③PE=2PF，

如图3，过点P作HP⊥BD交AB于点H，

则△HPB为等腰直角三角形，∠HPD=90°，
∴HP=BP，
∵BD=3BP，
∴PD=2BP，
∴PD=2HP，
又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，
∴∠HPF=∠DPE，
又∵∠BHP=∠EDP=45°，
∴△PHF∽△PDE，
∴，
即PE=2PF，
由此规律可知，当BD=mBP时，PE=（m-1）PF．