【题目】如图,在△ABC中,AE⊥BC于点E,∠B=22.5°,AB的垂直平分线DN交BC于点D,交AB于点N,DF⊥AC于点F,交AE于点M.求证:
(1)AE=DE;
(2)EM=EC.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,得到∠DAB=∠B=22.5°,根据三角形的外角性质得到∠ADE=∠DAB+∠B=45°,根据等腰三角形的性质证明;
(2)证明△MDE≌△CAE,根据全等三角形的性质证明结论.
证明:(1)∵DN是AB的垂直平分线,
∴DA=DB,
∴∠DAB=∠B=22.5°,
∴∠ADE=∠DAB+∠B=45°,
∵AE⊥BC,
∴∠AED=90°,
∴∠DAE=∠ADE=45°,
∴AE=DE;
(2)∵DF⊥AC,AE⊥BC,
∴∠MDE=∠CAE,
在△MDE和△CAE中,
,
∴△MDE≌△CAE(ASA),
∴EM=EC.
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【题目】如图,∠AOB=90°,OA=12cm,OB=8cm,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿BC方向匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,并且它们的运动时间也相等.
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置,不必叙述作图过程,保留作图痕迹;
(2)求线段OC的长.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC,CD,DA运动至点A停止.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示.
(1)求△ABC的面积;
(2)求y关于x的函数解析式;
(3)当△ABP的面积为5时,求x的值.
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【题目】请阅读下列材料:
问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=,PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长.
李明同学的思路是:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2),连接PP′,可得△P′PB是等边三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证),所以∠AP′B=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°,进而求出等边△ABC的边长为,问题得到解决.
请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=,BP=,PC=1.求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长.
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【题目】如图,已知AB∥CD,F为CD上一点,∠EFD=60°,∠AEC=2∠CEF,若6°<∠BAE<15°,∠C的度数为整数,则∠C的度数为_____.
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【题目】如图1,点A、D在y轴正半轴上,点B、C分别在x轴上,CD平分∠ACB,与y轴交于D点,∠CAO=90°-∠BDO.
(1)求证:AC=BC:
(2)如图2,点C的坐标为(4,0),点E为AC上一点,且∠DEA=∠DBO,求BC+EC的长;
(3)如图3,过D作DF⊥AC于F点,点H为FC上一动点,点G为OC上一动点,当H在FC上移动、点G在OC上移动时,始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH,试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系,写出你的结论并加以证明.
(图3)
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【题目】拉杆箱是人们出行的常用品,采用拉杆箱可以让人们出行更轻松.如图,一直某种拉杆箱箱体长AB=65cm,拉杆最大伸长距离BC=35cm,在箱体底端装有一圆形滚轮,当拉杆拉到最长时,滚轮的圆心在图中的A处,点A到地面的距离AD=3cm,当拉杆全部缩进箱体时,滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处,求拉杆把手C离地面的距离(假设C点的位置保持不变).
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【题目】在平面直角坐标系中,如图所示的函数图象是由函数y=(x﹣1)2+1(x≥0)的图象C1和图象C2组成中心对称图形,对称中心为点(0,2).已知不重合的两点A、B分别在图象C1和C2上,点A、B的横坐标分别为a、b,且a+b=0.当b<x≤a时该函数的最大值和最小值均与a、b的值无关,则a的取值范围为_____.
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【题目】为迎接G20杭州峰会的召开,某校八年级(1)(2)班准备集体购买一种T恤衫参加一项社会活动.了解到某商店正好有这种T恤衫的促销,当购买10件时每件140元,购买数量每增加1件单价减少1元;当购买数量为60件(含60件)以上时,一律每件80元.
(1)如果购买x件(10<x<60),每件的单价为y元,请写出y关于x的函数关系式;
(2)如果八(1)(2)班共购买了100件T恤衫,由于某种原因需分两批购买,且第一批购买数量多于30件且少于60件.已知购买两批T恤衫一共花了9200元,求第一批T恤衫的购买数量.
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