Question

12．已知在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，经过点A作一线段AE把矩形分成两部分，一是直角梯形，一是直角三角形，若梯形和三角形的面积之比为3：1，则其周长之比为3-$\sqrt{2}$或$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$．

Answer 1

分析 根据题目的要求正确地作出图形，首先利用面积之间的关系得到线段BE的长，然后利用勾股定理求得线段AE的长，再求出周长，求比即可．

解答 解：分两种情况：
①如图：设BE=x，则CE=6-x，
∵梯形的面积与直角三角形的面积之比为3：1，
∴$\frac{3（6+6-x）}{2}$：$\frac{3x}{2}$=3：1，
解得：x=3，
∴CE=3，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴L_梯形：L_{直角三角形}=（6+3+3+3$\sqrt{2}$）：（3+3+3$\sqrt{2}$）=3-$\sqrt{2}$；
②如图1，设DE=x，则CE=3-x，
∵梯形的面积与直角三角形的面积之比为3：1，
∴$\frac{6（3+3-x）}{2}$：$\frac{6x}{2}$=3：1，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴CE=$\frac{3}{2}$，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{2}$，
∴L_梯形：L_{直角三角形}=（3+6+$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{17}}{2}$）：（6+$\frac{3}{2}$+$\frac{3\sqrt{17}}{2}$）=$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$；
综上所述：梯形和三角形的周长之比为3-$\sqrt{2}$或$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$．
故答案为：3-$\sqrt{2}$或$\frac{9-\sqrt{17}}{4}$．

点评 本题考查了矩形的性质及勾股定理，解题的关键是根据不同的情况分类讨论，此类题目是中考中的一个高频考点．