Question

7．在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）；B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+ax+2经过点C．
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点P（点C除外）使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点C作CD垂直于x轴，由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC，根据旋转的旋转得到AB=AC，且∠BAC为直角，可得∠OAB与∠CAD互余，由∠AOB为直角，可得∠OAB与∠ABO互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长，可得出OD及CD的长，根据C在第四象限得出C的坐标；
（2）①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式；
②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：（i）A为直角顶点，过A作AP₁垂直于AB，且AP₁=AB，过P₁作P₁M垂直于x轴，如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP₁，利用AAS可证明三角形AP₁M与三角形ACD全等，得出AP₁与P₁M的长，再由P₁为第二象限的点，得出此时P₁的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii）当B为直角顶点，过B作BP₂垂直于BA，且BP₂=BA，过P₂作P₂N垂直于y轴，如图所示，同理证明三角形BP₂N与三角形AOB全等，得出P₂N与BN的长，由P₂为第三象限的点，写出P₂的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii）当B为直角顶点，过B作BP₃垂直于BA，且BP₃=BA，如图所示，过P₃作P₃H垂直于y轴，同理可证明三角形P₃BH全等于三角形AOB，可得出P₃H与BH的长，由P₃为第四象限的点，写出P₃的坐标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标．

解答 解：（1）如图1，过C作CD⊥x轴，垂足为D，

∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°，
∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，-2），
∴OA=CD=1，OB=AD=2，
∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点，
∴C的坐标为（3，-1）；
（2）①∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+ax+2经过点C，且C（3，-1），
∴把C的坐标代入得：-1=-$\frac{9}{2}$+3a+2，解得：a=$\frac{1}{2}$，
则抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2；
②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，
（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点，
则延长CA至点P₁使得P₁A=CA，得到等腰直角三角形ABP₁，过点P₁作P₁M⊥x轴，如图2所示，

∵AP₁=CA，∠MAP₁=∠CAD，∠P₁MA=∠CDA=90°，
∴△AMP₁≌△ADC，
∴AM=AD=2，P₁M=CD=1，
∴P₁（-1，1），经检验点P₁在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2上；
（ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP₂⊥BA，且使得BP₂=AB，
得到等腰直角三角形ABP₂，过点P₂作P₂N⊥y轴，如图3，

同理可证△BP₂N≌△ABO，
∴NP₂=OB=2，BN=OA=1，
∴P₂（-2，-1），经检验P₂（-2，-1）也在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2上；
（iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP₃⊥BA，且使得BP₃=AB，
得到等腰直角三角形ABP₃，过点P₃作P₃H⊥y轴，如图4，

同理可证△BP₃H≌△BAO，
∴HP₃=OB=2，BH=OA=1，
∴P₃（2，-3），经检验P₃（2，-3）不在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+2上；
则符合条件的点有P₁（-1，1），P₂（-2，-1）两点．

点评 此题属于二次函数的综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性强，难度较大，解题的关键是要注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用．