Question

2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（x₁，0），点B的坐标（x₂，0），已知实数x₁，x₂（x₁＜x₂）分别是方程x²+2x-3=0的两根，OA=OC，抛物线经过A、B、C三点，记抛物线顶点为点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段AC上的一个动点（不与A、C重合），直线PB与抛物线交于点D，连接DA，DC．
①计算△ACE的面积；
②是否存在点D，使得S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ACE？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，当△PBC为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）解方程x²+2x-3=0求得方程的解，可得OA、OC的长度，根据线段的长度，可得点的坐标；根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）①根据解析式，可得顶点坐标；根据角的和差，可得∠ACE的度数，根据三角形的面积公式，可得答案；
②根据等底三角形面积的关系，可得三角形高之间的关系，可得答案；
（3）根据等腰三角形的判定，分类讨论：PB=PC，PB=BC，PC=BC，可得答案．

解答 解：（1）由 x²+2x-3=0，得x₁=-3，x₂=1，
∵点A的坐标（x₁，0），点B的坐标（x₂，0），
∴A（-3，0），B（1，0）
∵OA=OC，
∴C（0，-3），
设y=a（x+3）（x-1），把C（0，-3）代入y=a（x+3）（x-1），得-3=a（0+3）（0-1），解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=x²+2x-3；

（2）①∵抛物线的解析式为y=x²+2x-3，
∴顶点坐标E（-1，-4）；
由题意可知∠ACO=45°，CE与y轴的负半轴所成的角也为45°，
∴∠ACE=90°，AC=3$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$AC•CE=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2；
②存在存在点D，使得S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ACE，
D到AC的距离为CE的一半，
设D（x，x²+2x-3），直线AC的解析式为y=-x-3，即y+x+3=0，
D到AC的距离为$\frac{|x+{x}^{2}+2x-3+3|}{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得x₁=-1-$\sqrt{2}$，y₁=-2，
x₂=-2+$\sqrt{2}$，y₂=-1-2$\sqrt{2}$；
∴D（-1-$\sqrt{2}$，-2），D（-2+$\sqrt{2}$，-1-2$\sqrt{2}$）；

（3）设P（x，-x-3），BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
①当PB=PC时，$\sqrt{（x-1）^{2}+（-x-3-0）^{2}}$=$\sqrt{（x-0）^{2}+（-x-3-3）^{2}}$，
化简，得
4x=-13．
解得x=-$\frac{13}{4}$，y=-x-3=$\frac{1}{4}$，p（-$\frac{13}{4}$，$\frac{1}{4}$）；
②当PB=BC时，$\sqrt{（x-1）^{2}+（-x-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
化简，得2x²+4x=0．
解得x=-2或x=0（不符合题意的要舍去），y=-x-3=-（-2）-3=-1，P（-2，-1）；
③当PC=BC时，$\sqrt{（x-0）^{2}+（-x-3-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
化简，得x²+6x+13=0，△=b²-4ac=6²-4×1×13=-16，方程无实数根；
当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标（-$\frac{13}{4}$，$\frac{1}{4}$），（-2，-1）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用了待定系数法求函数解析式，等底三角形的面积与高的关系，等腰三角形的判定，分类讨论是解题关键．