Question

3．如图，△ACB中，∠BAC=40°，将△ACB绕点B逆时针旋转到△A₁C₁B，其中点A旋转到点A₁，点C旋转到点C₁，并且点A、C₁、A₁三点共线．
（1）求旋转的度数；
（2）若BC∥AA₁，求证：BC=AC．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得BA₁=BA，∠BA₁A=∠BAC=40°，∠ABA₁等于旋转角，再利用等腰三角形的性质得∠BAA₁=∠BA₁A=40°，然后根据三角形内角和计算∠ABA₁即可；
（2）根据平行线的性质得∠ABC=∠BA₁A=40°，则∠ABC=∠BAC，然后根据等腰三角形的判定定理即可得到BC=AC．

解答 （1）解：∵△ACB绕点B逆时针旋转到△A₁C₁B，并且点A、C₁、A₁三点共线，
∴BA₁=BA，∠BA₁A=∠BAC=40°，∠ABA₁等于旋转角，
∴∠BAA₁=∠BA₁A=40°
∵∠ABA₁=180°-∠BA₁A-∠BAA₁=180°-40°-40°=100°，
∴旋转的度数为100°；
（2）证明：∵BC∥AA₁，
∴∠ABC=∠BA₁A=40°，
∴∠ABC=∠BAC，
∴BC=AC．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．