【题目】已知正方形中,为对角线上一点,过点作交于点,连接,为的中点,连接.
(1)如图1,求证:;
(2)将图1中的绕点逆时针旋转45°,如图2,取的中点,连接.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图1中的绕点逆时计旋转任意角度,如图3,取的中点,连接.问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可证出CG=EG.
(2)结论仍然成立,连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点;再证明△DAG≌△DCG,得出AG=CG;再证出△DMG≌△FNG,得到MG=NG;再证明△AMG≌△ENG,得出AG=EG;最后证出CG=EG.
(3)结论依然成立.过F作CD的平行线并延长CG交于M点,连接EM、EC,过F作FN垂直于AB于N.由于G为FD中点,易证△CDG≌△MFG,得到CD=FM,又因为BE=EF,易证∠EFM=∠EBC,则△EFM≌△EBC,∠FEM=∠BEC,EM=EC,得出△MEC是等腰直角三角形,就可以得出结论.
(1)在中,为的中点,
∴.
同理,在中,.
∴.
(2)如图②,(1)中结论仍然成立,即EG=CG.
理由:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.
∴∠AMG=∠DMG=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD=BC=AB,∠ADG=∠CDG.∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°.
在△DAG和△DCG中,
,
∴△DAG≌△DCG(SAS),
∴AG=CG.
∵G为DF的中点,
∴GD=GF.
∵EF⊥BE,
∴∠BEF=90°,
∴∠BEF=∠BAD,
∴AD∥EF,
∴∠N=∠DMG=90°.
在△DMG和△FNG中,
,
∴△DMG≌△FNG(ASA),
∴MG=NG.
∵∠DA∠AMG=∠N=90°,
∴四边形AENM是矩形,
∴AM=EN,
在△AMG和△ENG中,
,
∴△AMG≌△ENG(SAS),
∴AG=EG,
∴EG=CG;
(3)如图③,(1)中的结论仍然成立.
理由:过F作CD的平行线并延长CG交于M点,连接EM、EC,过F作FN⊥AB于N.
∵MF∥CD,
∴∠FMG=∠DCG,∠MFD=∠CDG.∠AQF=∠ADC=90°
∵FN⊥AB,
∴∠FNH=∠ANF=90°.
∵G为FD中点,
∴GD=GF.
在△MFG和△CDG中
,
∴△CDG≌△MFG(AAS),
∴CD=FM.MG=CG.
∴MF=AB.
∵EF⊥BE,
∴∠BEF=90°.
∵∠NHF+∠HNF+∠NFH=∠BEF+∠EHB+∠EBH=180°,
∴∠NFH=∠EBH.
∵∠A=∠ANF=∠AMF=90°,
∴四边形ANFQ是矩形,
∴∠MFN=90°.
∴∠MFN=∠CBN,
∴∠MFN+∠NFE=∠CBN+∠EBH,
∴∠MFE=∠CBE.
在△EFM和△EBC中
,
∴△EFM≌△EBC(SAS),
∴ME=CE.,∠FEM=∠BEC,
∵∠FEC+∠BEC=90°,
∴∠FEC+∠FEM=90°,
即∠MEC=90°,
∴△MEC是等腰直角三角形,
∵G为CM中点,
∴EG=CG,EG⊥CG.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数图象经过点,,其对称轴为直线.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)若直线将的面积分成相等的两部分,求的值;
(3)点是该二次函数图象与轴的另一个交点,点是直线上位于轴下方的动点,点是第四象限内该二次函数图象上的动点,且位于直线右侧.若以点为直角顶点的与相似,求点的坐标.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,按以下步骤作图:
①分别以点A和B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点E、F;
②作直线EF交BC于点G,连接AG;若AG⊥BC,CG=3,则AD的长为_______.
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【题目】为了解学生居家学习期间对函数知识的掌握情况,某学校数学教师对九年级全体学生进行了一次摸底测试,测试含一次函数、二次函数和反比例函数三项内容,每项满分10分.现随机抽取20名学生的成绩(成绩均为整数)进行收集、整理、描述和分析,下面给出了部分信息:
a.该20名学生一次函数测试成绩如下:7 9 10 9 7 6 8 10 10 8 6 10 10 9 10 9 9 9 10 10
b.该20名学生总成绩和二次函数测试成绩情况统计图:
c.该20名学生总成绩平均分为25分,一次函数测试平均分为8.8分.
根据以上信息,回答下列问题:
(1)该20名学生一次函数测试成绩的中位数是 ,众数是 .
(2)若该校九年级共有400名学生,且总成绩不低于26分的学生成绩记为优秀,估计该校九年级本次测试总成绩优秀的约有 人.
(3)在总成绩和二次函数测试成绩情况统计图中,A同学的一次函数测试成绩是 分;若B同学的反比例函数测试成绩是8分,则B同学的一次函数测试成绩是 分.
(4)一次函数、二次函数和反比例函数三项内容中,学生掌握情况最不好的是 .
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【题目】四张大小、形状都相同的卡片上分别写有数字1,2,3,4,把它们放入不透明的盒子中摇匀.
(1)从中随机抽出1张卡片,抽出的卡片上的数字恰好是偶数的概率为 .
(2)从中随机抽出1张卡片,记录数字后放回摇匀,再抽出一张卡片,记录数字.用树状图或列表法求两次抽出的卡片上的数字恰好是两个相邻整数的概率.
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为的网格中,点均在格点上,为小正方形边中点.
(1)的长等于 ______;
(2)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出一个点,使其满足说明点的位置是如何找到的(不要求证明)______.
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【题目】已知抛物线为常数,)与直线都经过两点,是该抛物线上的一个动点,过点作轴的垂线交直线于点,交x轴于点H.
(1)求此抛物线和直线的解析式;
(2)当点在直线下方时,求取得最大值时点的坐标;
(3)设该抛物线的顶点为直线与该抛物线的对称轴交于点.当以点为顶点的四边形是平行四边形时,求点的坐标.
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