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【题目】已知正方形中,为对角线上一点,过点于点,连接的中点,连接

1)如图1,求证:

2)将图1中的绕点逆时针旋转45°,如图2,取的中点,连接.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.

3)将图1中的绕点逆时计旋转任意角度,如图3,取的中点,连接.问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可证出CG=EG
2)结论仍然成立,连接AG,过G点作MNADM,与EF的延长线交于N点;再证明DAG≌△DCG,得出AG=CG;再证出DMG≌△FNG,得到MG=NG;再证明AMG≌△ENG,得出AG=EG;最后证出CG=EG
3)结论依然成立.过FCD的平行线并延长CG交于M点,连接EMEC,过FFN垂直于ABN.由于GFD中点,易证CDG≌△MFG,得到CD=FM,又因为BE=EF,易证∠EFM=EBC,则EFM≌△EBC,∠FEM=BECEM=EC,得出MEC是等腰直角三角形,就可以得出结论.

(1)在中,的中点,

同理,在中,

2)如图②,(1)中结论仍然成立,即EG=CG
理由:连接AG,过G点作MNADM,与EF的延长线交于N点.
∴∠AMG=DMG=90°
∵四边形ABCD是正方形,
AD=CD=BC=AB,∠ADG=CDG.∠DAB=ABC=BCD=ADC=90°
DAGDCG中,

∴△DAG≌△DCGSAS),
AG=CG
GDF的中点,
GD=GF
EFBE
∴∠BEF=90°
∴∠BEF=BAD
ADEF
∴∠N=DMG=90°
DMGFNG中,


∴△DMG≌△FNGASA),
MG=NG
∵∠DAAMG=N=90°
∴四边形AENM是矩形,
AM=EN
AMGENG中,

∴△AMG≌△ENGSAS),
AG=EG
EG=CG
3)如图③,(1)中的结论仍然成立.
理由:过FCD的平行线并延长CG交于M点,连接EMEC,过FFNABN
MFCD
∴∠FMG=DCG,∠MFD=CDG.∠AQF=ADC=90°
FNAB
∴∠FNH=ANF=90°
GFD中点,
GD=GF.
MFGCDG

∴△CDG≌△MFGAAS),
CD=FMMG=CG
MF=AB
EFBE
∴∠BEF=90°
∵∠NHF+HNF+NFH=BEF+EHB+EBH=180°
∴∠NFH=EBH
∵∠A=ANF=AMF=90°
∴四边形ANFQ是矩形,
∴∠MFN=90°
∴∠MFN=CBN
∴∠MFN+NFE=CBN+EBH
∴∠MFE=CBE
EFMEBC

∴△EFM≌△EBCSAS),
ME=CE.,∠FEM=BEC
∵∠FEC+BEC=90°
∴∠FEC+FEM=90°
即∠MEC=90°
∴△MEC是等腰直角三角形,
GCM中点,
EG=CGEGCG

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