Question

【题目】如图，已知在△ABC中，D为BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：四边形ADCF为平行四边形．

（2）当四边形ADCF为矩形时，AB与AC应满足怎样的数量关系？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）四边形ADCF为矩形时AB＝AC，理由详见解析.

【解析】

（1）利用△AEF≌△DEB得到AF＝DB，所以AF＝DC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形ADCF为平行四边形；

（2）利用等腰三角形的性质以及矩形的性质得出即可．

（1）∵AF∥BC，

∴∠FAE＝∠EDB，∠AFE＝∠EBD．

又∵AE=ED，

∴△AEF≌△DEB（AAS），

∴AF＝DB，

又∵BD＝DC，

∴AF＝DC，

∴四边形ADCF为平行四边形；

（2）四边形ADCF为矩形时AB＝AC；

理由：∵四边形ADCF为矩形，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∵D为BC的中点，

∴AB＝AC，

∴四边形ADCF为矩形时AB＝AC．