Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径AC=4，∠BCD=120°，BD与AC的交点为E．
（1）求∠BOD的度数及点O到BD的距离；
（2）若DE=2BE，求证：DO⊥AC．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理

专题：

分析：（1）根据圆内接四边形的性质得∠BAD=180°-∠BCD=60°，则根据圆周角定理可得∠BOD=2∠BAD=120°，作OM⊥BD，如图，∠ODB=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系易得OM=

1

2

OD=1，即点O到BD的距离为1；
（2）在Rt△DOM中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DM=

3

OM=

3

，而工行垂径定理得到BM=DM=2

3

，利用DE=2BE，可计算出DE=

2

3

BD=

4 3

3

，
则ME=DE-DM=

3

3

，在Rt△OEM中，计算tan∠MOE可得∠MOE=30°，易得∠DOE=90°，于是可证明DO⊥AC．

解答：解：（1）∵∠BCD=120°，
∴∠BAD=180°-∠BCD=60°，
∴∠BOD=2∠BAD=120°，
作OM⊥BD，如图，
∵OB=OD，
∴∠ODB=30°，
∵AC=4，
∴OD=2，
∴OM=

1

2

OD=1，
即点O到BD的距离为1；
（2）在Rt△DOM中，OM=1，
∴DM=

3

OM=

3

，
∵OM⊥BD，
∴BM=DM=2

3

，
∵DE=2BE，
∴DE=

2

3

BD=

4 3

3

，
∴ME=DE-DM=

3

3

，
在Rt△OEM中，∵tan∠MOE=

ME

OM

=

3

3

，
∴∠MOE=30°，
而∠DOM=60°，
∴∠DOE=90°，
∴DO⊥AC．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理，记住含30度的直角三角形三边的关系．