Question

在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、DC、AC的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）若四边形EFGH是矩形，求证：∠ADC+∠BCD=90°．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：证明题

分析：（1）利用三角形中位线定理得出EF=

1

2

AD，FG=

1

2

BC，GH=

1

2

AD，HE=

1

2

BC，进而求出即可；
（2）利用矩形的性质∠ADC+∠BCD=∠HGC+∠FGD，进而求出即可．

解答：证明：（1）∵E、F、G、H分别是AB、BD、DC、AC的中点，
∴EF、FG、GH、HE分别是△ABD、△BDC、△ADC、△ABC的中位线，
∴EF=

1

2

AD，FG=

1

2

BC，GH=

1

2

AD，HE=

1

2

BC，
∴EF=GH，FG=EH，
∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）由（1）可得，FG∥BC，GH∥AD，
故∠ADC=∠HGC，∠BCD=∠FGD，
∵四边形EFGH是矩形，∴∠FGH=90°，
∴∠ADC+∠BCD=∠HGC+∠FGD=180°-∠FGH=90°．

点评：此题主要考查了中点四边形的性质以及平行四边形和矩形的判定，正确把握相关性质是解题关键．