Question

【题目】已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+ ，PA= ，则：

① 线段PB= ， PC= ；
② 猜想：PA2 ， PB2 ， PQ2三者之间的数量关系为；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；

（3）若动点P满足 = ，求 的值．（提示：请利用备用图进行探求）

Answer 1

【答案】
（1）,2,AP2+BP2=PQ2
（2）解：如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB．

∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DCPD+PD2，

PB2=（DP﹣BD）2=（PD﹣DC）2=DC2﹣2DCPD+PD2，

∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，

∴AP2+BP2=2PC2．

∵△CPQ为等腰直角三角形，

∴2PC2=PQ2．

∴AP2+BP2=PQ2．

（3）解：如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．

①当点P位于点P1处时．

∵ ，

∴ ．

∴ ．

在Rt△CP1D中，由勾股定理得： = = DC，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= = = DC，

∴ ．

②当点P位于点P2处时．

∵ = ，

∴ ．

在Rt△CP2D中，由勾股定理得： = = ，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= = = DC，

∴ ．

综上所述， 的比值为 或 ．

【解析】（1）如图①：

①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+

∴AB= = = + ，

∵PA= ，

∴PB= ，

∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，

∴AC=BC，PC=CQ，∠ACP=∠BCQ，

∴△APC≌△BQC．

∴BQ=AP= ，∠CBQ=∠A=45°．

∴△PBQ为直角三角形．

∴PQ= ．

∴PC= PQ=2．

所以答案是： ，2；

②如图1．

∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，

∴CD=AD=DB．

∵AP2=（AD﹣PD）2=（DC﹣PD）2=DC2﹣2DCPD+PD2，PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DCPD+PD2

∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，

∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，

∴AP2+BP2=2PC2．

∵△CPQ为等腰直角三角形，

∴2PC2=PQ2．

∴AP2+BP2=PQ2