Question

14．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点P在⊙O外，连接PA交⊙O于点F，连接PC并延长交⊙O于点D，交AB于点E，连接FC、FB，若AC²=AF•AP，AC=4$\sqrt{5}$，CD=8，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 根据已知条件得到△ACF∽△ACP，得到∠P=∠ACF，等量代换得到∠P=∠ABF，由AB是⊙O的直径，得到∠AFB=90°，推出AB⊥CD，根据垂径定理得到CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=8，根据勾股定理得到AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=8，连接OC，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：∵AC²=AF•AP，
∴$\frac{AC}{AF}=\frac{AP}{AC}$，
∵∠FAC=∠CAP，
∴△ACF∽△ACP，
∴∠P=∠ACF，
∵∠ACF=∠ABF，
∴∠P=∠ABF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠P+∠PAB=90°，
∴∠AEC=90°，
∴AB⊥CD，
∴CE=DE=$\frac{1}{2}$CD=4，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=8，
连接OC，
∴OE=AE-OC=8-OC，
∵OC²=OE²+CE²，即OC²=（8-OC）²+4²，
∴OC=5，
∴⊙O的半径为5．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．