Question

△ABC是黄金三角形，BF平分∠ABC交AC于F，取AB中点E，连接EF交BC延长线于M，连接AM，说明△MAB是黄金三角形．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：证明题

分析：由于△ABC是黄金三角形，则∠BAC=36°，∠ABC=72°，又由于BF平分∠ABC交AC于F，则∠ABF=36°，所以FA=FB，加上AE=BE，根据线段垂直平分线的判定得EF垂直平分AB，则MA=MB，易得∠MAB=∠ABM=72°，∠AMB=36°，于是可判断△MAB是黄金三角形．

解答：证明：如图，
∵△ABC是黄金三角形，
∴∠BAC=36°，∠ABC=∠ACB=72°，
∵BF平分∠ABC交AC于F，
∴∠ABF=36°，
∴FA=FB，
∵点E为AB的中点，
∴EF垂直平分AB，
∴MA=MB，
∴∠MAB=∠ABM=72°，
∴∠AMB=36°，
∴△MAB是黄金三角形．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=

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AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．顶角为36°的等腰三角形为黄金三角形．